Resolució de sistemes d'equacions lineals. Discussió de sistemes

📋 RESUM: Sistemes d'equacions lineals • **Formulació:** $Ax = b$. Matriu ampliada $(A|b)$ • **Teorema de Rouché-Frobenius:** Compatible ⟺ rang(A) = rang(A|b). Si r = n: determinat. Si r < n: indeterminat amb n-r graus de llibertat • **Sistemes homogenis ($b=0$):** Sempre compatibles. Solucions no trivials si rang(A) < n • **Mètodes de resolució:** - Gauss: escalonament + substitució regressiva - Gauss-Jordan: forma escalonada reduïda - Cramer: $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ (només n×n determinats) - Inversa: $x = A^{-1}b$ • **Estructura de solucions:** $x = x_p + x_h$ (particular + homogènia) • **Interpretació geomètrica:** 2D = rectes, 3D = plans • **Mínims quadrats:** Per sistemes incompatibles, minimitzar $\|Ax-b\|^2$: $(A^TA)\hat{x} = A^Tb$