T41. Isometries

Desarrollo del tema

# ISOMETRIES EN EL PLA I EN L'ESPAI

## 1. Introducció

Les **isometries** són transformacions geomètriques que preserven les distàncies. El terme prové del grec *isos* (igual) i *metron* (mesura). Constitueixen el fonament matemàtic per entendre els moviments rígids, les simetries i els grups de transformacions en geometria.

En aquest tema estudiarem les isometries des d'un punt de vista algebraic i geomètric, classificarem els diferents tipus, analitzarem les seves propietats i explorarem les aplicacions en art, cristal·lografia i altres àmbits.

## 2. Definició Formal d'Isometria

Sigui $E$ un espai euclidià (el pla $\mathbb{R}^2$ o l'espai $\mathbb{R}^3$) amb la distància euclidiana $d$.

**Definició:** Una aplicació $f: E \to E$ és una **isometria** si preserva la distància: $$d(f(P), f(Q)) = d(P, Q) \quad \forall P, Q \in E$$

### 2.1 Propietats Fonamentals

Tota isometria compleix:

1. **Bijectivitat:** Tota isometria és una aplicació bijectiva (injectiva i exhaustiva).

2. **Preservació d'alineació:** Punts alineats es transformen en punts alineats.

3. **Preservació d'angles:** Els angles es conserven (en mòdul).

4. **Preservació de figures:** Triangles, cercles, polígons es transformen en figures congruents.

**Demostració de la injectivitat:** Si $f(P) = f(Q)$, llavors $d(f(P), f(Q)) = 0$. Com que $f$ preserva distàncies, $d(P, Q) = 0$, i per tant $P = Q$.

### 2.2 Composició d'Isometries

Si $f$ i $g$ són isometries, la seva composició $g \circ f$ també ho és: $$d((g \circ f)(P), (g \circ f)(Q)) = d(g(f(P)), g(f(Q))) = d(f(P), f(Q)) = d(P, Q)$$

## 3. Classificació de les Isometries en el Pla

### 3.1 Teorema de Classificació

**Teorema:** Tota isometria del pla és una de les següents: - Identitat - Translació - Rotació - Reflexió (simetria axial) - Simetria amb lliscament

A més, tota isometria es pot expressar com a composició d'un màxim de **tres reflexions**.

### 3.2 Translació

Una **translació** de vector $\vec{v}$ és l'aplicació $T_{\vec{v}}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definida per: $$T_{\vec{v}}(P) = P + \vec{v}$$

En coordenades, si $\vec{v} = (a, b)$ i $P = (x, y)$: $$T_{\vec{v}}(x, y) = (x + a, y + b)$$

**Propietats:** - No té punts fixos (excepte si $\vec{v} = \vec{0}$, que és la identitat) - $T_{\vec{v}} \circ T_{\vec{w}} = T_{\vec{v} + \vec{w}}$ - $(T_{\vec{v}})^{-1} = T_{-\vec{v}}$ - És equivalent a la composició de dues reflexions respecte a eixos paral·lels

### 3.3 Rotació

Una **rotació** de centre $O$ i angle $\theta$ és l'aplicació $R_{O,\theta}$ que gira cada punt un angle $\theta$ al voltant de $O$.

Si el centre és l'origen, en coordenades: $$R_{O,\theta}(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$$

En forma matricial: $$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

**Propietats:** - L'únic punt fix és el centre $O$ - $R_{O,\theta} \circ R_{O,\phi} = R_{O,\theta+\phi}$ - $(R_{O,\theta})^{-1} = R_{O,-\theta}$ - És equivalent a la composició de dues reflexions respecte a eixos que passen per $O$ formant angle $\theta/2$

### 3.4 Reflexió (Simetria Axial)

Una **reflexió** respecte a una recta $r$ (eix de simetria) és l'aplicació $S_r$ que envia cada punt $P$ al punt $P'$ tal que $r$ és la mediatriu de $\overline{PP'}$.

Si l'eix és l'eix $x$: $$S_x(x, y) = (x, -y)$$

Si l'eix és una recta $y = mx$: $$S = \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix}$$

**Propietats:** - Els punts fixos són exactament els punts de l'eix $r$ - $S_r \circ S_r = \text{Id}$ (involució) - $\det(S_r) = -1$ (canvia l'orientació)

### 3.5 Simetria amb Lliscament

Una **simetria amb lliscament** és la composició d'una reflexió respecte a una recta $r$ i una translació paral·lela a $r$: $$G = T_{\vec{v}} \circ S_r \quad \text{on } \vec{v} \parallel r$$

**Propietats:** - No té punts fixos - Canvia l'orientació ($\det = -1$) - És equivalent a tres reflexions

## 4. Isometries Directes i Inverses

### 4.1 Classificació segons l'Orientació

**Isometria directa (o pròpia):** Preserva l'orientació. El determinant de la seva matriu és $+1$. - Translacions - Rotacions

**Isometria inversa (o impròpia):** Inverteix l'orientació. El determinant és $-1$. - Reflexions - Simetries amb lliscament

### 4.2 Grup de les Isometries

El conjunt de totes les isometries del pla, amb l'operació de composició, forma un **grup** anomenat $E(2)$ o grup euclidià del pla.

- **Element neutre:** La identitat - **Inversos:** Tota isometria té inversa (també isometria) - **Associativitat:** Heretada de la composició de funcions

El subgrup de les isometries directes s'anomena $E^+(2)$ o $SE(2)$.

## 5. Isometries en l'Espai $\mathbb{R}^3$

### 5.1 Classificació

Les isometries en l'espai tridimensional inclouen:

**Isometries directes ($\det = +1$):** - Identitat - Translació - Rotació (al voltant d'un eix) - Moviment helicoïdal (rotació + translació paral·lela a l'eix)

**Isometries inverses ($\det = -1$):** - Reflexió respecte a un pla - Simetria central (respecte a un punt) - Simetria amb lliscament - Reflexió rotatòria

### 5.2 Rotació en l'Espai

Una rotació al voltant de l'eix $z$ d'angle $\theta$: $$R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

### 5.3 Simetria Central

La simetria respecte a l'origen: $$S_O(x, y, z) = (-x, -y, -z)$$

En el pla, la simetria central és una rotació de $180°$. En l'espai, és una isometria inversa diferent.

## 6. Representació Matricial

### 6.1 Matrius Ortogonals

Una matriu $A$ és **ortogonal** si $A^T A = I$, és a dir, $A^{-1} = A^T$.

**Propietats:** - $|\det(A)| = 1$ - Les columnes (i files) formen una base ortonormal - Les matrius ortogonals amb $\det = +1$ formen el grup $SO(n)$

### 6.2 Coordenades Homogènies

Per representar translacions com a transformacions lineals, s'utilitzen **coordenades homogènies**:

Un punt $(x, y)$ es representa com $(x, y, 1)$.

Una isometria general es pot escriure: $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$

on $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ és ortogonal i $(t_x, t_y)$ és el vector de translació.

## 7. Punts Fixos i Equacions

### 7.1 Determinació pels Punts Fixos

Cada tipus d'isometria té un conjunt característic de punts fixos:

| Isometria | Punts fixos | |-----------|-------------| | Identitat | Tot el pla | | Translació ($\vec{v} \neq \vec{0}$) | Cap | | Rotació ($\theta \neq 0$) | El centre | | Reflexió | L'eix (una recta) | | Simetria amb lliscament | Cap |

### 7.2 Trobar una Isometria

**Teorema:** Una isometria del pla queda determinada per les imatges de **tres punts no alineats**.

Mètode pràctic: 1. Donat un triangle $ABC$ i les seves imatges $A'B'C'$ 2. L'isometria és única i es pot calcular resolent el sistema lineal corresponent

## 8. Composició d'Isometries

### 8.1 Composició de Reflexions

**Dues reflexions:** - Respecte a rectes **paral·leles** separades distància $d$: translació de vector perpendicular de mòdul $2d$ - Respecte a rectes **secants** formant angle $\alpha$: rotació d'angle $2\alpha$ centrada en el punt d'intersecció

**Tres reflexions:** Qualsevol isometria inversa.

### 8.2 Teorema Fonamental

**Teorema:** Tota isometria del pla es pot expressar com a composició d'un màxim de tres reflexions.

*Demostració (esquema):* - Isometries directes = composició de 0 o 2 reflexions - Isometries inverses = composició de 1 o 3 reflexions

## 9. Grups de Simetria

### 9.1 Grups Finits: Rosasses

Els grups finits d'isometries que fixen un punt (grups puntuals) són: - **Grup cíclic $C_n$:** Rotacions de $\frac{360°}{n}$ - **Grup dièdric $D_n$:** Rotacions + $n$ reflexions

Exemples: Estrella de 5 puntes ($D_5$), hèlix triple del DNA ($C_3$).

### 9.2 Grups de Frisos

Els **frisos** són patrons amb simetria de translació en una direcció. Hi ha exactament **7 tipus** de grups de frisos.

### 9.3 Grups Cristal·logràfics

Els patrons amb simetria de translació en dues direccions (tessel·lacions periòdiques) corresponen a **17 grups cristal·logràfics** o grups de paper pintat.

## 10. Aplicacions

### 10.1 Cristal·lografia

L'estructura dels cristalls es basa en grups de simetria. Els 230 grups espacials classifiquen totes les possibles estructures cristal·lines.

### 10.2 Art i Disseny

- **M.C. Escher:** Tessel·lacions artístiques explorant els 17 grups cristal·logràfics - **Art islàmic:** Patrons geomètrics a l'Alhambra amb els 17 grups - **Logotips:** Simetria rotacional i axial

### 10.3 Informàtica Gràfica

Les transformacions isomètriques són fonamentals per: - Animació de personatges - Manipulació d'objectes 3D - Reconeixement de patrons

### 10.4 Física

Les simetries estan relacionades amb lleis de conservació (teorema de Noether): - Simetria de translació → Conservació del moment lineal - Simetria de rotació → Conservació del moment angular

## 11. Didàctica

### 11.1 ESO

- **Manipulació:** Paper, miralls, geoplans - **Software:** GeoGebra per visualitzar transformacions - **Art:** Crear frisos i rosasses

### 11.2 Batxillerat

- **Àlgebra lineal:** Connexió amb matrius ortogonals - **Demostracions:** Composició d'isometries - **Grups:** Introducció intuïtiva als grups de simetria

## 12. Conclusions

Les isometries constitueixen una família fonamental de transformacions geomètriques que preserven la forma i la mida de les figures. La seva classificació (translacions, rotacions, reflexions i simetries amb lliscament) proporciona eines poderoses per analitzar simetries i patrons. La connexió amb l'àlgebra lineal a través de matrius ortogonals i coordenades homogènies permet un tractament algebraic elegant.