T44. Fractals. Geometria fractal

Desarrollo del tema

# FRACTALS. GEOMETRIA FRACTAL

## 1. Introducció

La **geometria fractal** és una branca de les matemàtiques que estudia objectes amb estructura autosemblant i dimensió no entera. El terme "fractal" va ser encunyat per **Benoît Mandelbrot** el 1975, del llatí *fractus* (trencat, irregular).

Els fractals revolucionen la geometria clàssica en permetre descriure formes naturals —costes, muntanyes, núvols, arbres, vasos sanguinis— que escapen a les figures euclidianes regulars.

## 2. Autosemblança i Definició de Fractal

### 2.1 Autosemblança

Un objecte és **autosemblant** si parts d'ell són còpies a escala del tot. Tipus:

**Autosemblança exacta:** Cada part és una còpia idèntica reduïda del tot (fractals matemàtics ideals).

**Autosemblança aproximada:** Les parts s'assemblen al tot però no són idèntiques (fractals naturals).

**Autosemblança estadística:** Les propietats estadístiques es conserven a diferents escales.

### 2.2 Definició de Fractal

No hi ha una definició única universalment acceptada. Mandelbrot proposà:

**Definició 1 (Mandelbrot):** Un fractal és un conjunt la dimensió de Hausdorff del qual és estrictament major que la seva dimensió topològica.

**Definició 2 (informal):** Un fractal és un objecte geomètric que: - Té estructura autosemblant - Té detall infinit a totes les escales - Té dimensió fraccionària - No es pot descriure amb geometria euclidiana clàssica

## 3. Dimensió Fractal

### 3.1 Limitacions de la Dimensió Topològica

La dimensió topològica assigna: - Punt: dimensió 0 - Corba: dimensió 1 - Superfície: dimensió 2 - Sòlid: dimensió 3

Però és insuficient per distingir la "complexitat" de diferents corbes.

### 3.2 Dimensió de Semblança (Fractals Autosemblants)

Per un fractal format per $N$ còpies de si mateix a escala $1/r$:

$$D = \frac{\log N}{\log r}$$

**Exemples:** - Segment: $N=2$, $r=2$ → $D = \frac{\log 2}{\log 2} = 1$ - Quadrat: $N=4$, $r=2$ → $D = \frac{\log 4}{\log 2} = 2$ - Cub: $N=8$, $r=2$ → $D = \frac{\log 8}{\log 2} = 3$

### 3.3 Dimensió de Hausdorff

Definició rigorosa basada en recobrir el conjunt amb boles de radi $\varepsilon$:

$$D_H = \inf\{s : \mathcal{H}^s(F) = 0\} = \sup\{s : \mathcal{H}^s(F) = \infty\}$$

on $\mathcal{H}^s$ és la mesura de Hausdorff $s$-dimensional.

### 3.4 Dimensió de Comptatge de Caixes (Box-Counting)

Mètode pràctic per estimar la dimensió fractal:

$$D_B = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log(1/\varepsilon)}$$

on $N(\varepsilon)$ és el nombre de caixes de costat $\varepsilon$ necessàries per cobrir el fractal.

**Aplicació pràctica:** Fer un gràfic log-log de $N(\varepsilon)$ vs $1/\varepsilon$; el pendent és $D_B$.

## 4. Fractals Clàssics

### 4.1 Conjunt de Cantor

**Construcció:** 1. Començar amb l'interval $[0, 1]$ 2. Eliminar el terç central $(1/3, 2/3)$ 3. Repetir amb cada segment restant

**Propietats:** - Conjunt no numerable (mateixa cardinalitat que $\mathbb{R}$) - Mesura de Lebesgue zero (longitud total = 0) - Dimensió: $D = \frac{\log 2}{\log 3} \approx 0.631$ - És perfecte (tancat i sense punts aïllats) i totalment disconnex

### 4.2 Corba de Koch (Floc de Neu)

**Construcció:** 1. Començar amb un segment 2. Dividir en 3 parts iguals 3. Substituir el terç central per dos costats d'un triangle equilàter 4. Repetir indefinidament

**Propietats:** - Longitud infinita: $L_n = (4/3)^n \to \infty$ - Àrea finita (si es fa el floc de neu tancat) - Dimensió: $D = \frac{\log 4}{\log 3} \approx 1.262$ - Corba contínua però enlloc diferenciable

### 4.3 Triangle de Sierpinski

**Construcció:** 1. Començar amb un triangle equilàter 2. Eliminar el triangle central (format unint els punts mitjans) 3. Repetir amb els 3 triangles restants

**Propietats:** - 3 còpies a escala 1/2 - Dimensió: $D = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585$ - Àrea total = 0 (s'elimina tot) - Perímetre infinit

### 4.4 Catifa de Sierpinski

Generalització 2D del conjunt de Cantor: - 8 còpies a escala 1/3 (s'elimina el quadrat central) - Dimensió: $D = \frac{\log 8}{\log 3} \approx 1.893$

### 4.5 Esponja de Menger

Versió 3D: - 20 còpies a escala 1/3 - Dimensió: $D = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2.727$ - Volum zero, àrea superficial infinita

## 5. Fractals Dinàmics: Conjunts de Julia i Mandelbrot

### 5.1 Iteració de Funcions Complexes

Considerem la funció $f_c(z) = z^2 + c$ on $z, c \in \mathbb{C}$.

**Òrbita d'un punt $z_0$:** La successió $z_0, f_c(z_0), f_c(f_c(z_0)), \ldots$

### 5.2 Conjunt de Julia $J_c$

Per a un $c$ fixat, el **conjunt de Julia** $J_c$ és la frontera entre: - Punts amb òrbites acotades - Punts amb òrbites que escapen a l'infinit

**Propietats:** - Autosemblant - Pot ser connex o totalment disconnex (segons $c$) - $J_c$ és connex $\Leftrightarrow$ $c \in M$ (conjunt de Mandelbrot)

### 5.3 Conjunt de Mandelbrot $M$

$$M = \{c \in \mathbb{C} : \text{l'òrbita de } 0 \text{ sota } f_c \text{ és acotada}\}$$

Equivalentment: $M = \{c : J_c \text{ és connex}\}$

**Propietats:** - Frontera fractal amb dimensió $D = 2$ - Connex - La frontera $\partial M$ és infinitament complicada - Conté infinites còpies de si mateix (mini-Mandelbrots)

**Algorisme de visualització:** Per a cada punt $c$, iterar $z_{n+1} = z_n^2 + c$ (amb $z_0 = 0$). Si $|z_n| > 2$ per algun $n$, l'òrbita escapa i $c \notin M$.

## 6. Sistemes de Funcions Iterades (IFS)

### 6.1 Definició

Un **IFS** és un conjunt finit de contraccions $\{f_1, f_2, \ldots, f_n\}$ sobre un espai mètric.

**Teorema (Atractor d'IFS):** Existeix un únic conjunt compacte $A$ (l'atractor) tal que: $$A = \bigcup_{i=1}^n f_i(A)$$

### 6.2 Algorisme del Joc del Caos

Per generar l'atractor: 1. Triar un punt inicial $P_0$ 2. Triar aleatòriament una de les transformacions $f_i$ 3. Calcular $P_{k+1} = f_i(P_k)$ 4. Repetir i dibuixar els punts

**Exemple (Triangle de Sierpinski):** Tres contraccions que porten cada punt cap a un dels tres vèrtexs amb factor 1/2.

### 6.3 Teorema del Collage

Per aproximar una imatge $F$ amb un IFS: - Trobar transformacions $f_i$ tals que $\bigcup f_i(F) \approx F$ - L'atractor de l'IFS s'assemblarà a $F$

Aplicació: **Compressió d'imatges fractal**.

## 7. Fractals a la Natura

### 7.1 Exemples Naturals

- **Costes:** Longitud dependent de l'escala de mesura (paradoxa de la costa) - **Muntanyes i paisatges:** Terreny irregular autosemblant - **Núvols:** Estructura turbulent - **Arbres i plantes:** Ramificació autosemblant (Helecho de Barnsley) - **Sistema circulatori:** Ramificació dels vasos sanguinis - **Pulmons:** Arbre bronquial - **Llamps:** Trajectòries ramificades - **Flors de bròquil i romanesco:** Autosemblança visible

### 7.2 La Paradoxa de la Costa

Mandelbrot va analitzar la costa de Gran Bretanya: - La longitud mesurada depèn de l'escala - A mesura que l'escala es redueix, la longitud augmenta - Comportament $L(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1-D}$ amb $D > 1$

Costa de Gran Bretanya: $D \approx 1.25$

## 8. Aplicacions dels Fractals

### 8.1 Gràfics per Ordinador

- Generació de paisatges sintètics (pel·lícules, videojocs) - Textures realistes (núvols, foc, aigua) - Compressió d'imatges fractal

### 8.2 Antenes Fractals

Antenes amb geometria fractal (Koch, Sierpinski): - Multibanda: funcionen a múltiples freqüències - Compactes: més petites que les convencionals - Ús en telèfons mòbils

### 8.3 Medicina

- Anàlisi de ritmes cardíacs (variabilitat fractal) - Diagnòstic de tumors (frontera fractal) - Estructura pulmonar

### 8.4 Finances

- Mercats financers: fluctuacions amb autosemblança estadística - Moviment brownià fraccionari - Model de Mandelbrot per variacions de preus

### 8.5 Art

- Art generatiu per ordinador - Obres de Jackson Pollock (dimensió fractal $\approx 1.7$) - Disseny gràfic

## 9. Càlcul de la Dimensió Fractal

### 9.1 Mètode de Comptatge de Caixes

1. Cobrir el fractal amb una graella de caixes de costat $\varepsilon$ 2. Comptar $N(\varepsilon)$ = nombre de caixes ocupades 3. Repetir per diferents $\varepsilon$ 4. Fer gràfic $\log N$ vs $\log(1/\varepsilon)$ 5. La dimensió és el pendent de la recta de regressió

### 9.2 Exemple: Costa

| $\varepsilon$ (km) | $N(\varepsilon)$ | |---------------------|------------------| | 100 | 28 | | 50 | 70 | | 25 | 180 | | 12.5 | 500 |

Regressió: $D \approx 1.4$

## 10. Connexions amb Altres Àrees

### 10.1 Teoria del Caos

- Atractors estranys són fractals - Sensibilitat a condicions inicials - Determinisme + imprevisibilitat

### 10.2 Sistemes Dinàmics

- Conjunts de Julia i Mandelbrot - Bifurcacions - Exponente de Lyapunov

## 11. Didàctica

### 11.1 ESO

- **Construcció:** Triangle de Sierpinski amb paper, corba de Koch - **Exploració:** Zoom al conjunt de Mandelbrot (apps/web) - **Natura:** Identificar fractals al voltant

### 11.2 Batxillerat

- **Càlcul:** Dimensió fractal amb fórmula $D = \log N / \log r$ - **Successió geomètrica:** Àrea/perímetre del floc de Koch - **Programació:** Generar fractals amb codi

## 12. Conclusions

La geometria fractal amplia el vocabulari matemàtic per descriure formes irregulars presents a la natura i en sistemes dinàmics. El concepte de dimensió fraccionària quantifica la complexitat d'objectes que escapen a la geometria euclidiana. Des de l'art fins a les antenes de mòbil, els fractals tenen aplicacions pràctiques sorprenents.