📋 RESUM: Superfícies i curvatura
• Superfície parametritzada: X(u,v)∈ℝ³ regular si X_u×X_v≠0
• Pla tangent: generat per X_u i X_v; normal unitari n=(X_u×X_v)/‖X_u×X_v‖
• 1a forma fonamental: I=E du²+2F dudv+G dv², E=⟨X_u,X_u⟩, F=⟨X_u,X_v⟩, G=⟨X_v,X_v⟩
• Longitud i àrea: L=∫√(Eū²+2Fūṽ+Gṽ²)dt; dA=√(EG−F²)dudv
• 2a forma fonamental: II=e du²+2f dudv+g dv², e=⟨X_uu,n⟩, f=⟨X_uv,n⟩, g=⟨X_vv,n⟩
• Curvatures principals k₁,k₂: autovalors de l’operador forma; det(II−kI)=0
• Curvatura gaussiana: K=k₁k₂=(eg−f²)/(EG−F²), intrínseca (teorema egregi)
• Curvatura mitjana: H=(k₁+k₂)/2; superfícies mínimes si H=0
• Signes de K: K>0 el·líptica; K=0 desenvolupable; K<0 sella
• Geodèsiques: corbes de curvatura geodèsica nul·la, localment minimitzen distància; a l’esfera són grans cercles
Desarrollo del tema
# SUPERFÍCIES. CURVATURA
## 1. Introducció
Una **superfície** en $\mathbb{R}^3$ és un objecte bidimensional immers en l'espai. La geometria diferencial de superfícies estudia propietats locals (tangència, normals) i invariants intrínsecs com la curvatura gaussiana.
Aquest tema és central en geometria, física (relativitat, superfícies mínimes), enginyeria (disseny de formes) i gràfics (modelatge 3D). Presentarem la teoria bàsica: parametritzacions, plans tangents, primera i segona forma fonamental, curvatures principals, curvatura mitjana i gaussiana, i geodèsiques.
## 2. Superfícies parametritzades
Una superfície parametritzada és una aplicació regular
$$X:U\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\quad X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).$$
És **regular** si $X_u\times X_v\neq 0$ (els vectors tangents són linealment independents).
**Exemples:**
- Pla: $X(u,v)=P_0+u\vec{a}+v\vec{b}$
- Esfera de radi $R$: $X(\theta,\varphi)=(R\sin\theta\cos\varphi, R\sin\theta\sin\varphi, R\cos\theta)$
- Cilindre: $X(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v)$
En un punt $p=X(u_0,v_0)$, el **pla tangent** està generat per $X_u(u_0,v_0)$ i $X_v(u_0,v_0)$.
Un vector normal (no unitari) és:
$$N = X_u \times X_v.$$
El normal unitari és:
$$\mathbf{n} = \frac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|}.$$
**Equació del pla tangent:**
$$\mathbf{n}(u_0,v_0)\cdot (X - p)=0.$$
## 4. Primera forma fonamental (mètrica)
La primera forma fonamental descriu el producte escalar sobre el pla tangent:
$$I = E\,du^2 + 2F\,dudv + G\,dv^2$$
on
$$E=\langle X_u, X_u\rangle,\quad F=\langle X_u,X_v\rangle,\quad G=\langle X_v,X_v\rangle.$$
**Interpretació:**
- Longitud d'una corba sobre la superfície: si $\alpha(t)=X(u(t),v(t))$,
$$L=\int \sqrt{E\dot{u}^2+2F\dot{u}\dot{v}+G\dot{v}^2}\,dt.$$
- Angle entre corbes: es calcula amb el producte escalar dels seus tangents.
- Àrea: l'element d'àrea és
$$dA=\|X_u\times X_v\|\,dudv=\sqrt{EG-F^2}\,dudv.$$
## 5. Segona forma fonamental (curvatura extrínseca)
La segona forma fonamental és:
$$II = e\,du^2 + 2f\,dudv + g\,dv^2$$
amb
$$e=\langle X_{uu},\mathbf{n}\rangle,\quad f=\langle X_{uv},\mathbf{n}\rangle,\quad g=\langle X_{vv},\mathbf{n}\rangle.$$
Aquesta forma mesura com canvia el normal i, per tant, com la superfície es corba a l'espai.
## 6. Aplicació de Weingarten i curvatures principals
Les **curvatures principals** $k_1,k_2$ són els autovalors de $S$.
Equivalentment, es troben resolent l'equació característica:
$$\det(II - k\,I)=0,$$
és a dir
$$\det\begin{pmatrix}e-kE & f-kF\\ f-kF & g-kG\end{pmatrix}=0.$$
Les direccions pròpies són les **direccions principals**.
## 7. Curvatura normal, gaussiana i mitjana
### 7.1 Curvatura normal
Per una direcció tangent unitària $v$, la **curvatura normal** és:
$$k_n(v)=\frac{II(v,v)}{I(v,v)}$$
(amb $I(v,v)=1$ si $v$ és unitari).
El **teorema d'Euler** diu que $k_n(v)$ varia entre $k_1$ i $k_2$ i:
$$k_n(\theta)=k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta,$$
on $\theta$ és l'angle amb una direcció principal.
### 7.2 Curvatura gaussiana
$$K = k_1 k_2.$$
En coordenades:
$$K = \frac{eg-f^2}{EG-F^2}.$$
**Teorema egregi (Gauss):** $K$ és una propietat **intrínseca**: depèn només de la primera forma fonamental (mètrica), no de com s'immergeix la superfície.
Les superfícies amb $H=0$ s'anomenen **superfícies mínimes** (pla, catenoide, helicoide).
## 8. Línies de curvatura i asimptòtiques
- **Línies de curvatura:** corbes tangents a direccions principals.
- **Direccions asimptòtiques:** direccions on $k_n(v)=0$. Existeixen en punts amb $K<0$ (sella), donant dues direccions asimptòtiques.
## 9. Geodèsiques
Una corba sobre una superfície és **geodèsica** si localment minimitza la distància i té acceleració normal a la superfície (curvatura geodèsica nul·la).
En termes del pla tangent, la corba $\alpha(s)$ és geodèsica si el seu vector tangent unitari $T$ satisfà:
$$\nabla_T T = 0$$
(derivada covariant). En coordenades, les equacions involucren els símbols de Christoffel de la primera forma fonamental.
**Exemples:**
- En el pla: rectes.
- En l'esfera: cercles màxims (grans cercles).
- En un cilindre: hèlix i generatrius poden ser geodèsiques segons condicions.
## 10. Exemples de curvatures
### 10.1 Esfera de radi R
Té $k_1=k_2=1/R$, per tant:
$$K=\frac{1}{R^2},\quad H=\frac{1}{R}.$$
### 10.2 Cilindre de radi R
Té curvatures principals $k_1=1/R$ (direcció circular) i $k_2=0$ (direcció generatriu):
$$K=0,\quad H=\frac{1}{2R}.$$
### 10.3 Paraboloide hiperbòlic
Té $K<0$ en tots els punts (superfície de sella), amb dues direccions asimptòtiques.
## 11. Aplicacions
- **Cartografia:** projeccions i distorsions relacionades amb curvatura.
- **Arquitectura:** estructures reglades (hiperboloide d’1 fulla, paraboloide hiperbòlic).
- **Física:** superfícies mínimes (films de sabó) i curvatura en relativitat.
- **Computació gràfica:** normals per il·luminació i curvatura per suavitzat.
## 12. Conclusions
La geometria diferencial de superfícies es fonamenta en les dues formes fonamentals: la primera determina la mètrica (distàncies, angles, àrea) i la segona descriu la curvatura extrínseca. Les curvatures principals donen lloc a la curvatura gaussiana $K$ (intrínseca) i la curvatura mitjana $H$ (relacionada amb superfícies mínimes). Les geodèsiques són els camins “rectes” sobre la superfície.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
