📋 RESUM: Contrast d'hipòtesis
**Idea:** decidir si les dades són compatibles amb H₀ (hipòtesi nul·la) o donen evidència a favor d’H₁.
**Errors:**
• Tipus I: rebutjar H₀ sent certa (prob. α = nivell de significació)
• Tipus II: no rebutjar H₀ sent falsa (prob. β)
• Potència: 1−β
**p-valor:** probabilitat (sota H₀) d’obtenir un resultat tan extrem o més que l’observat. Rebutgem si p≤α.
**Contrastos clàssics:**
• Mitjana normal, σ coneguda: Z=(x̄−μ₀)/(σ/√n) ~ N(0,1)
• Mitjana normal, σ desconeguda: T=(x̄−μ₀)/(s/√n) ~ t_{n−1}
• Proporció: Z=(p̂−p₀)/√(p₀(1−p₀)/n) ≈ N(0,1)
• Variància (normal): χ²=(n−1)s²/σ₀² ~ χ²_{n−1}
• Dues mitjanes (variàncies iguals): t amb s_p² combinada i gl n₁+n₂−2
**Relació amb IC:** rebutjar H₀:θ=θ₀ (bilateral) al nivell α ↔ θ₀ no pertany a l’IC (1−α).
**Potència:** augmenta amb n, menor variabilitat i diferència real més gran.
Desarrollo del tema
# CONTRAST D'HIPÒTESIS
## 1. Introducció
El **contrast d’hipòtesis** és un procediment formal per decidir, a partir d’una mostra, si una afirmació sobre la població és compatible amb les dades. A diferència de l’estimació, que cerca un valor o interval per al paràmetre, el contrast formula una decisió entre:
En aquest tema veurem el marc general de Neyman–Pearson, errors de tipus I i II, nivell de significació, potència, p-valor i els contrasts més habituals (mitjana, proporció, variància i comparació de dues mostres).
## 2. Elements d’un contrast
### 2.1 Hipòtesis
Exemples:
- $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu \ne \mu_0$ (bilateral)
- $H_0: p \le p_0$ vs $H_1: p > p_0$ (unilateral)
El nivell de significació $\alpha$ es fixa a priori (p.ex. 0.05). La potència depèn de $n$, de la variabilitat i de la distància a l’alternativa.
### 2.4 p-valor
El **p-valor** és la probabilitat, sota $H_0$, d’obtenir un resultat tan extrem o més extrem que l’observat.
**Regla:** rebutjar $H_0$ si $p\text{-valor} \le \alpha$.
**Precaució:** p-valor no és la probabilitat que $H_0$ sigui certa.
## 3. Marc de Neyman–Pearson
Per a contrastos simples $H_0: \theta=\theta_0$ vs $H_1: \theta=\theta_1$, el **lema de Neyman–Pearson** diu que el contrast més potent al nivell $\alpha$ és el basat en la **raó de versemblances**:
$$\Lambda(\mathbf{x})=\frac{L(\theta_0;\mathbf{x})}{L(\theta_1;\mathbf{x})}$$
Per contrastos compostos, s’utilitzen generalitzacions (GLRT), contrasts basats en estadístics suficients o aproximacions asímptotiques.
## 4. Contrasts clàssics
### 4.1 Contrast per la mitjana (normal, σ coneguda)
Hi ha una equivalència important:
- Rebutjar $H_0: \theta=\theta_0$ (bilateral) al nivell $\alpha$ és equivalent a que $\theta_0$ no pertanyi a l’interval de confiança $(1-\alpha)$ per $\theta$.
Això ajuda a interpretar i verificar resultats.
## 6. Potència i grandària mostral
Per augmentar la potència (reduir $\beta$):
- augmentar $n$
- reduir la variabilitat (millor mesura/disseny)
- fixar alternatives més separades de $H_0$
**Exemple (mitjana, σ coneguda):** per detectar diferència $\delta$ amb potència $1-\beta$:
$$n \ge \left(\frac{(z_{\alpha/2}+z_{\beta})\sigma}{\delta}\right)^2$$
## 7. Contrastos no paramètrics (breu)
Quan les hipòtesis de normalitat o formes paramètriques no són fiables:
- **Signes** i **Wilcoxon** (mediana)
- **Mann–Whitney** (dues mostres)
- **Kruskal–Wallis** (múltiples grups)
- **Chi-quadrat** per independència en taules de contingència
## 8. Exemples resolts
### Exemple 1 (t de Student)
$n=16$, $\bar x=52$, $s=8$. Contrast $H_0: \mu=50$ vs $H_1: \mu>50$ al 5%.
$$T=\frac{52-50}{8/\sqrt{16}}=\frac{2}{2}=1$$
Valor crític: $t_{0.95,15}\approx 1.753$. Com que $1<1.753$, **no** rebutgem $H_0$.
### Exemple 2 (proporció)
En $n=200$, $X=120$ èxits. $\hat p=0.6$. Contrast $H_0:p=0.5$ vs $H_1:p>0.5$.
$$Z=\frac{0.6-0.5}{\sqrt{0.5\cdot 0.5/200}}=\frac{0.1}{\sqrt{0.00125}}\approx 2.828$$
Com que $2.828>z_{0.95}=1.645$, rebutgem $H_0$.
## 9. Didàctica
- Treballar l’error de tipus I i II amb exemples (diagnòstic mèdic)
- Simular el p-valor i el nivell de significació
- Insistir en la diferència entre “no rebutjar” i “acceptar” H0
- Relacionar contrast bilateral amb interval de confiança
## 10. Conclusions
Els contrasts d’hipòtesis formalitzen la decisió estadística sota incertesa. El control de l’error de tipus I ($\alpha$) i l’estudi de la potència són centrals. Els contrasts clàssics (z, t, chi-quadrat) cobreixen molts casos pràctics, i els no paramètrics ofereixen alternatives robustes quan fallen les hipòtesis del model.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
