T51. Correlació

Desarrollo del tema

# CORRELACIÓ I REGRESSIÓ

## 1. Introducció

En moltes situacions pràctiques ens interessa estudiar la relació entre dues o més variables. La **correlació** mesura el grau d'associació lineal entre dues variables, mentre que la **regressió** permet modelar i predir una variable a partir de l'altra. Aquests conceptes són fonamentals en estadística aplicada i tenen aplicacions en economia, ciències socials, enginyeria i investigació científica.

## 2. Distribucions Bidimensionals

### 2.1 Taula de contingència

Quan estudiem dues variables $X$ i $Y$ observades en $n$ individus, obtenim $n$ parells $(x_i, y_i)$. Si les variables són discretes, podem organitzar les dades en una **taula de contingència** o taula de doble entrada.

Siguin $x_1, x_2, \ldots, x_k$ els valors de $X$ i $y_1, y_2, \ldots, y_m$ els valors de $Y$. La freqüència conjunta $n_{ij}$ indica quantes vegades s'observa simultàniament $X = x_i$ i $Y = y_j$.

### 2.2 Distribucions marginals

Les **distribucions marginals** s'obtenen sumant per files o columnes: - Marginal de $X$: $n_{i \cdot} = \sum_{j=1}^{m} n_{ij}$ - Marginal de $Y$: $n_{\cdot j} = \sum_{i=1}^{k} n_{ij}$

### 2.3 Núvol de punts

La representació gràfica de les $n$ parelles $(x_i, y_i)$ en el pla cartesià s'anomena **diagrama de dispersió** o núvol de punts. Permet visualitzar: - Si existeix relació entre les variables - Si la relació és lineal o no lineal - El sentit (directa o inversa) i la intensitat de la relació

## 3. Covariància

### 3.1 Definició

La **covariància** mesura el grau de variació conjunta de dues variables respecte a les seves mitjanes:

$$\sigma_{XY} = \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

Forma alternativa (més pràctica per al càlcul):

$$\sigma_{XY} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x} \cdot \bar{y} = \overline{xy} - \bar{x} \cdot \bar{y}$$

### 3.2 Interpretació del signe

- $\sigma_{XY} > 0$: Relació directa. Quan $X$ augmenta, $Y$ tendeix a augmentar. - $\sigma_{XY} < 0$: Relació inversa. Quan $X$ augmenta, $Y$ tendeix a disminuir. - $\sigma_{XY} = 0$: No hi ha relació lineal (pot haver-hi relació no lineal).

### 3.3 Limitacions de la covariància

La covariància depèn de les unitats de mesura de les variables. Per exemple, si $X$ mesura alçada en cm i $Y$ pes en kg, la covariància tindrà unitats cm·kg. Això dificulta la comparació entre diferents estudis.

## 4. Coeficient de Correlació Lineal de Pearson

### 4.1 Definició

Per superar la limitació de les unitats, es defineix el **coeficient de correlació lineal de Pearson**:

$$r = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}$$

On $\sigma_X$ i $\sigma_Y$ són les desviacions típiques de $X$ i $Y$ respectivament.

Forma desenvolupada:

$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$

### 4.2 Propietats

1. **Adimensionalitat:** $r$ no té unitats. 2. **Rang:** $-1 \leq r \leq 1$ 3. **Interpretació:** - $r = 1$: Correlació lineal perfecta positiva - $r = -1$: Correlació lineal perfecta negativa - $r = 0$: Absència de correlació lineal - $0 < |r| < 0.3$: Correlació dèbil - $0.3 \leq |r| < 0.7$: Correlació moderada - $|r| \geq 0.7$: Correlació forta

4. **Simetria:** $r_{XY} = r_{YX}$ 5. **Invariància afí:** $r$ no canvia si fem transformacions lineals $X' = aX + b$, $Y' = cY + d$ (amb $a, c > 0$).

### 4.3 Coeficient de determinació

El **coeficient de determinació** és $R^2 = r^2$. Representa la proporció de variabilitat de $Y$ explicada per la relació lineal amb $X$.

Per exemple, si $r = 0.8$, llavors $R^2 = 0.64$, és a dir, el 64% de la variabilitat de $Y$ s'explica per la seva relació lineal amb $X$.

## 5. Regressió Lineal

### 5.1 El problema de la regressió

Donades $n$ parelles $(x_i, y_i)$, volem trobar una funció $y = f(x)$ que millor s'ajusti a les dades. En la **regressió lineal simple**, busquem una recta:

$$y = a + bx$$

on $a$ és l'ordenada a l'origen i $b$ el pendent.

### 5.2 Mètode de mínims quadrats

El criteri més utilitzat és minimitzar la **suma de quadrats dels errors** (residus):

$$S(a, b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (a + bx_i))^2 = \sum_{i=1}^{n} e_i^2$$

Per trobar el mínim, derivem respecte a $a$ i $b$ i igualem a zero:

$$\frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - a - bx_i) = 0$$

$$\frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - a - bx_i) = 0$$

### 5.3 Equacions normals i solució

De les equacions anteriors s'obté el **sistema d'equacions normals**:

$$\begin{cases} na + b\sum x_i = \sum y_i \\ a\sum x_i + b\sum x_i^2 = \sum x_i y_i \end{cases}$$

La solució és:

$$b = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X^2} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)} = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$

$$a = \bar{y} - b\bar{x}$$

### 5.4 Recta de regressió de Y sobre X

La **recta de regressió de $Y$ sobre $X$** és:

$$y - \bar{y} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X^2}(x - \bar{x})$$

Aquesta recta passa sempre pel **punt mitjà** $(\bar{x}, \bar{y})$ (centroide del núvol).

### 5.5 Recta de regressió de X sobre Y

Anàlogament, si volem predir $X$ a partir de $Y$:

$$x - \bar{x} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_Y^2}(y - \bar{y})$$

**Nota important:** Les dues rectes de regressió només coincideixen quan $|r| = 1$ (correlació perfecta). En general, són diferents i es tallen al centroide.

## 6. Relació entre Correlació i Regressió

Existeix una relació fonamental entre el coeficient de correlació i els pendents de les rectes de regressió:

$$r^2 = b_{Y/X} \cdot b_{X/Y}$$

On $b_{Y/X} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X^2}$ és el pendent de la regressió de $Y$ sobre $X$ i $b_{X/Y} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_Y^2}$ és el pendent de la regressió de $X$ sobre $Y$.

A més: $$r = \text{sgn}(b_{Y/X}) \cdot \sqrt{b_{Y/X} \cdot b_{X/Y}}$$

## 7. Altres Coeficients de Correlació

### 7.1 Coeficient de correlació de Spearman

Quan les dades són ordinals o no es compleixen les hipòtesis de normalitat, s'utilitza el **coeficient de Spearman** $\rho_s$, que és el coeficient de Pearson calculat sobre els rangs de les observacions:

$$\rho_s = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2 - 1)}$$

on $d_i = R(x_i) - R(y_i)$ és la diferència de rangs.

### 7.2 Coeficient de correlació de Kendall

El **coeficient tau de Kendall** mesura la concordança entre rangs:

$$\tau = \frac{n_c - n_d}{\binom{n}{2}}$$

on $n_c$ és el nombre de parells concordants i $n_d$ el de discordants.

## 8. Regressió No Lineal

Quan la relació entre variables no és lineal, es poden fer transformacions per linealitzar:

| Model | Equació | Transformació | |-------|---------|---------------| | Exponencial | $y = ae^{bx}$ | $\ln y = \ln a + bx$ | | Potencial | $y = ax^b$ | $\ln y = \ln a + b \ln x$ | | Logarítmic | $y = a + b \ln x$ | $y = a + b \cdot z$ amb $z = \ln x$ | | Hiperbòlic | $y = \frac{1}{a + bx}$ | $\frac{1}{y} = a + bx$ |

## 9. Correlació Espúria i Causalitat

### 9.1 Correlació no implica causalitat

Un error comú és interpretar la correlació com a prova de causalitat. Dues variables poden estar correlacionades per: - **Causalitat directa:** $X$ causa $Y$ - **Causalitat inversa:** $Y$ causa $X$ - **Variable confusora:** Una tercera variable $Z$ causa tant $X$ com $Y$ - **Atzar:** En mostres petites, pot aparèixer correlació per casualitat

### 9.2 Exemples de correlació espúria

- Correlació entre consum de gelats i ofegaments (ambdues augmenten a l'estiu) - Correlació entre nombre de bombers i danys en incendis (incendis grans requereixen més bombers)

## 10. Aplicacions Didàctiques

### 10.1 A l'ESO

- **Diagrames de dispersió:** Representar parells de dades (alçada-pes, hores d'estudi-nota) - **Identificació visual:** Classificar núvols de punts segons tipus de correlació - **Calculadores:** Utilitzar funcions estadístiques per obtenir $r$

### 10.2 Al Batxillerat

- **Càlcul complet:** Covariància, coeficient de correlació, rectes de regressió - **Prediccions:** Utilitzar la recta de regressió per fer pronòstics - **Anàlisi crític:** Discussió sobre correlació vs. causalitat - **Fulls de càlcul:** Ajustos amb Excel, LibreCalc o GeoGebra

## 11. Conclusions

La correlació i la regressió són eines fonamentals per analitzar relacions entre variables quantitatives. El coeficient de correlació de Pearson mesura la força i direcció de l'associació lineal, mentre que les rectes de regressió permeten fer prediccions. És essencial recordar que correlació no implica causalitat i que cal interpretar sempre els resultats en el context del problema estudiat.