📋 RESUM: Mètodes numèrics per resoldre $f(x)=0$
• Objectiu: aproximar arrels quan no hi ha solució exacta.
• **Bolzano**: si f contínua i f(a)·f(b)<0 en [a,b], existeix una arrel.
• **Bisecció**: divideix interval amb canvi de signe; sempre convergeix; error ≤ (b-a)/2^{n+1}. Convergència lineal.
• **Punt fix**: transformar a x=g(x); iterar x_{n+1}=g(x_n). Convergeix si g és contractiva (|g'|≤k<1 i g(I)⊂I).
• **Newton**: x_{n+1}=x_n - f(x_n)/f'(x_n). Quadràtica per arrel simple i x₀ proper; pot divergir si f'≈0 o x₀ dolent.
• **Newton modificat**: per arrel múltiple m: x_{n+1}=x_n - m f/f'.
• **Secant**: substitueix derivada per diferència; x_{n+1}=x_n - f(x_n)(x_n-x_{n-1})/(f(x_n)-f(x_{n-1})). Ordre ≈1.618.
• **Regula falsi**: manté interval amb canvi de signe però usa secant; pot estancar-se.
• **Aturada**: |x_{n+1}-x_n|<ε o |f(x_n)|<δ; considerar arrodoniment i estabilitat.
Desarrollo del tema
# MÈTODES NUMÈRICS. RESOLUCIÓ D'EQUACIONS
## 1. Introducció
Moltes equacions importants en ciència i enginyeria no es poden resoldre exactament amb fórmules elementals. Els **mètodes numèrics** proporcionen procediments per obtenir aproximacions de solucions amb una precisió controlable.
El problema bàsic és trobar arrels de:
$$f(x)=0$$
on $f$ és una funció real. Estudiarem mètodes iteratius com la bisecció, Newton i la secant, així com criteris de convergència i d'error.
## 2. Aproximació d'arrels: idees generals
### 2.1 Arrels i multiplicitat
Un nombre $\alpha$ és una arrel de $f$ si $f(\alpha)=0$.
- Arrel **simple**: $f'(\alpha)\ne 0$.
- Arrel de **multiplicitat m**: $f(\alpha)=f'(\alpha)=\cdots=f^{(m-1)}(\alpha)=0$ i $f^{(m)}(\alpha)\ne 0$.
La multiplicitat afecta la velocitat de convergència de Newton.
### 2.2 Errors
Si $x_n$ és una aproximació de $\alpha$, definim:
- Error absolut: $e_n=|x_n-\alpha|$
- Error relatiu: $\frac{|x_n-\alpha|}{|\alpha|}$ (si $\alpha\ne 0$)
En la pràctica, com que $\alpha$ és desconeguda, s'usen criteris com $|x_{n+1}-x_n|$ o $|f(x_n)|$.
### 2.3 Ordre de convergència
Una successió $x_n\to\alpha$ té **ordre de convergència p** si existeix $C>0$ tal que:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{|x_{n+1}-\alpha|}{|x_n-\alpha|^p}=C$$
Si $f$ és contínua en $[a,b]$ i $f(a)\cdot f(b)<0$, llavors existeix almenys una arrel $\alpha\in(a,b)$.
Aquest criteri fonamenta el mètode de la bisecció.
## 4. Mètode de la bisecció
### 4.1 Idea
Donat un interval $[a,b]$ amb canvi de signe, es pren el punt mig:
$$m=\frac{a+b}{2}$$
Si $f(a)f(m)<0$ la nova interval és $[a,m]$; si $f(m)f(b)<0$ és $[m,b]$. Es repeteix fins assolir la precisió desitjada.
### 4.2 Algorisme
1. Tria $a,b$ amb $f(a)f(b)<0$.
2. Per a $n=0,1,2,...$:
- $m_n=(a_n+b_n)/2$
- Si $f(a_n)f(m_n)<0$ posa $a_{n+1}=a_n$, $b_{n+1}=m_n$.
Altrament $a_{n+1}=m_n$, $b_{n+1}=b_n$.
### 4.3 Error i nombre d'iteracions
Després de $n$ iteracions, la longitud de l'interval és:
$$b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$$
L'error del punt mig compleix:
$$|\alpha-m_n|\le \frac{b_n-a_n}{2}=\frac{b-a}{2^{n+1}}$$
Per garantir error $<\varepsilon$:
$$\frac{b-a}{2^{n+1}}<\varepsilon\ \Rightarrow\ n>\log_2\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1$$
### 4.4 Avantatges i inconvenients
- **+** Sempre convergeix si hi ha canvi de signe i $f$ és contínua.
- **+** Error fàcil d'estimar.
- **-** Convergència lenta (lineal).
## 5. Mètode del punt fix
### 5.1 Transformació
Resoldre $f(x)=0$ es pot convertir en trobar un punt fix de $g$:
$$x=g(x)$$
L'iteració és:
$$x_{n+1}=g(x_n)$$
### 5.2 Condició de convergència (contractivitat)
Si $g$ és derivable en un interval $I$ i:
- $g(I)\subset I$
- $|g'(x)|\le k<1$ per a tot $x\in I$
llavors existeix un únic punt fix a $I$ i la iteració convergeix per a qualsevol $x_0\in I$.
Aproximem $f$ per la recta tangent en $x_n$:
$$y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$$
Tallant amb l'eix $x$ (posant $y=0$) obtenim:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
### 6.2 Convergència
Si $f$ és $C^2$ a prop de l'arrel simple $\alpha$ i $x_0$ és prou proper, Newton convergeix **quadràticament**:
$$|e_{n+1}|\approx C\,|e_n|^2$$
On aproximadament:
$$C=\left|\frac{f''(\alpha)}{2f'(\alpha)}\right|$$
### 6.3 Problemes
- Si $f'(x_n)\approx 0$, el pas és molt gran i pot divergir.
- Depèn de la bona elecció de $x_0$.
- Per arrels múltiples, la convergència baixa a lineal.
### 6.4 Newton modificat (arrel múltiple)
Si $\alpha$ té multiplicitat $m$ (coneguda), es pot usar:
$$x_{n+1}=x_n-m\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
## 7. Mètode de la secant
Evita calcular derivades substituint-les per una diferència finita:
Cal distingir entre error numèric, truncament i arrodoniment.
## 11. Consideracions de càlcul numèric
- **Estabilitat:** com afecten els errors d'arrodoniment.
- **Condicionament:** sensibilitat de l'arrel a canvis en les dades.
- **Arrodoniment:** en màquina, s'utilitza aritmètica finita.
Per exemple, per arrels prop de punts on $f'$ és petit, el problema és mal condicionat.
## 12. Aplicacions didàctiques
- Introduir mètodes com a algoritmes: iteració, precisió, criteris d'aturada.
- Comparar bisecció vs Newton en velocitat i robustesa.
- Ús de calculadora, full de càlcul o programació (Python) per implementar iteracions.
- Connectar amb funcions: interpretació gràfica d'arrels i tangents.
## 13. Conclusions
La resolució numèrica d'equacions és un pilar del càlcul aplicat. La bisecció garanteix convergència sota hipòtesis molt generals, mentre que Newton i la secant proporcionen convergència molt més ràpida quan són aplicables. Comprendre condicions de convergència i estimacions d'error és essencial per usar aquests mètodes amb seguretat.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
