T45. Sistemes de referència. Canvis de sistema

Desarrollo del tema

# SISTEMES DE REFERÈNCIA. CANVIS DE SISTEMA

## 1. Introducció

La descripció quantitativa del món físic i geomètric requereix **mesurar posicions** i **representar vectors i punts** mitjançant coordenades. Aquesta representació depèn de la tria d’un **sistema de referència**: origen, eixos i unitats. En geometria analítica i en física, canviar de sistema permet simplificar equacions, interpretar moviments i estudiar invariants.

En aquest tema tractarem sistemes de coordenades al pla i a l’espai (cartesianes, polars, cilíndriques i esfèriques), els **canvis de base** en espais vectorials, les transformacions entre sistemes (translacions i rotacions), i la representació matricial d’aquests canvis.

## 2. Sistemes de referència i coordenades

### 2.1 Sistema cartesià al pla

Un sistema cartesià al pla queda determinat per: - Un origen $O$ - Dos vectors directors linealment independents $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ (normalment ortonormals)

Un punt $P$ té coordenades $(x,y)$ si: $$\overrightarrow{OP} = x\,\vec{e}_1 + y\,\vec{e}_2$$

Si la base és ortonormal, llavors $x$ i $y$ són projeccions sobre eixos perpendiculars.

### 2.2 Sistema cartesià a l’espai

Amb una base $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$: $$\overrightarrow{OP} = x\,\vec{e}_1 + y\,\vec{e}_2 + z\,\vec{e}_3$$

### 2.3 Coordenades polars (pla)

En polars, un punt s’expressa com $(r,\theta)$: $$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta$$ $$r = \sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta = \operatorname{atan2}(y,x)$$

**Interpretació:** $r$ és la distància a l’origen i $\theta$ l’angle respecte l’eix $x$.

### 2.4 Coordenades cilíndriques (espai)

$(r,\theta,z)$ amb: $$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$$

### 2.5 Coordenades esfèriques (espai)

Una convenció habitual: $(\rho,\theta,\varphi)$ on $\rho$ és el radi, $\theta$ l’angle azimutal, $\varphi$ l’angle polar (des de l’eix $z$): $$x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi$$

## 3. Espais vectorials, bases i coordenades

### 3.1 Coordenades d’un vector en una base

Sigui $V$ un espai vectorial de dimensió $n$ i $\mathcal{B}=(\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_n)$ una base. Tot vector $\vec{v}\in V$ s’escriu de manera única: $$\vec{v} = \alpha_1\vec{b}_1 + \cdots + \alpha_n\vec{b}_n$$

El vector de coordenades és: $$[\vec{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}$$

### 3.2 Matriu de canvi de base

Donades dues bases $\mathcal{B}$ i $\mathcal{B}'$, definim la matriu de canvi de base $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}$ tal que: $$[\vec{v}]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}\,[\vec{v}]_{\mathcal{B}'}$$

Les columnes de $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}$ són les coordenades, en la base $\mathcal{B}$, dels vectors de la base $\mathcal{B}'$: $$P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'} = \big([\vec{b}'_1]_{\mathcal{B}}\; [\vec{b}'_2]_{\mathcal{B}}\;\cdots\;[\vec{b}'_n]_{\mathcal{B}}\big)$$

**Invers:** $$P_{\mathcal{B}'\leftarrow \mathcal{B}} = \left(P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}\right)^{-1}$$

### 3.3 Canvi de base d’una aplicació lineal

Si $T:V\to V$ és lineal i $A=[T]_{\mathcal{B}}$, $A'=[T]_{\mathcal{B}'}$, llavors: $$A' = P_{\mathcal{B}'\leftarrow \mathcal{B}}\;A\;P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{B}'}$$

Aquesta fórmula és clau per a diagonalització i canvis de coordenades.

## 4. Canvis de sistema en geometria analítica

En el pla i l’espai, un canvi de sistema acostuma a incloure: - **Translació** de l’origen - **Rotació** (canvi d’orientació dels eixos) - (opcional) **canvi d’escala** o cisallament (en general afí)

En aquest tema ens centrem en translacions i rotacions (moviments rígids), que preserven distàncies.

### 4.1 Translació de l’origen

Sigui $O$ l’origen antic i $O'$ el nou origen. Si $\overrightarrow{OO'}=\vec{t}$, aleshores les coordenades d’un punt $P$ satisfan: $$\overrightarrow{OP} = \vec{t} + \overrightarrow{O'P}$$

En coordenades cartesianes (mateixos eixos, origen desplaçat): $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$$ és a dir: $$x = x' + t_x,\qquad y = y' + t_y$$

Invers: $$x' = x - t_x,\qquad y' = y - t_y$$

### 4.2 Rotació d’eixos (pla)

Considerem un sistema $S$ i un sistema $S'$ obtingut rotant els eixos un angle $\theta$ (positiu antihorari) mantenint el mateix origen.

La relació entre coordenades és: $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = R_\theta\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix},\qquad R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$

Per tant: $$x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,\qquad y = x'\sin\theta + y'\cos\theta$$

Invers (rotació de $-\theta$): $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = R_{-\theta}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = R_\theta^T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

**Nota conceptual:** rotar els eixos $+\theta$ equival a rotar els punts $-\theta$.

### 4.3 Translació + rotació (canvi complet)

Si el nou origen és $O'$ i els nous eixos són els antics rotats $\theta$: $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix} + R_\theta\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$$

Invers: $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = R_{-\theta}\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix}\right)$$

### 4.4 Coordenades homogènies i transformacions afins

En coordenades homogènies, un punt $(x,y)$ és $(x,y,1)$ i una transformació afí s’escriu: $$\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&t_x\\c&d&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}$$

Si $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ és ortogonal, tenim un moviment rígid.

## 5. Canvi de sistema i equacions de corbes

Canviar de sistema és una tècnica per simplificar equacions.

### 5.1 Exemple: eliminar termes lineals (trasllat)

Considerem una circumferència: $$x^2+y^2+ax+by+c=0$$

Amb un trasllat $x=X-h$, $y=Y-k$ triant $h=-a/2$, $k=-b/2$, s’obté: $$X^2+Y^2=R^2,\quad R^2=h^2+k^2-c$$

### 5.2 Exemple: eliminar terme mixt (rotació)

Una cònica general: $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$

Amb una rotació d’angle $\theta$ es pot eliminar el terme $Bxy$ si: $$\cot 2\theta = \frac{A-C}{B}$$

Això és molt útil per classificar cònics.

## 6. Sistemes de referència en física

### 6.1 Sistemes inercials i no inercials

- **Inercial:** un sistema on val la 1a llei de Newton (moviment rectilini uniforme si força neta zero) - **No inercial:** sistema accelerat o en rotació; apareixen forces fictícies

Exemples de forces fictícies en un sistema en rotació: - Força centrífuga - Força de Coriolis

### 6.2 Canvi de referència i velocitats

Si $\vec{r} = \vec{r}_O + R\vec{r}'$ amb $R$ rotació i $\vec{r}_O$ translació, derivant respecte el temps: $$\vec{v} = \dot{\vec{r}}_O + \dot{R}\vec{r}' + R\dot{\vec{r}}'$$

Quan $R$ depèn del temps (eixos rotatoris), apareix el terme $\dot{R}\vec{r}'$ relacionat amb la velocitat angular.

## 7. Exemple complet resolt

Donada l’equació: $$x^2+y^2-4x+6y-12=0$$

Fem el canvi $x=X+2$, $y=Y-3$ (és a dir, $X=x-2$, $Y=y+3$):

Substituint: \[ (X+2)^2+(Y-3)^2-4(X+2)+6(Y-3)-12=0 \] Simplificant: $$X^2+Y^2=25$$

És una circumferència de centre $(2,-3)$ i radi 5.

## 8. Didàctica

- Visualitzar canvis de sistema amb GeoGebra (desplaçar eixos, girar-los) - Connectar amb problemes reals: mapes, navegació, referència d’un vehicle - Treballar la diferència entre “rotar eixos” i “rotar punts” - Insistir en la idea d’invariant: la figura geomètrica és la mateixa encara que canviïn les coordenades

## 9. Conclusions

Els sistemes de referència són una elecció de base i origen per descriure punts i vectors. Canviar de sistema equival a reescriure coordenades mitjançant translacions i rotacions (o, en general, transformacions afins). La formulació matricial unifica els procediments i és imprescindible tant en geometria analítica (simplificació d’equacions) com en física (canvi de marc de referència).