T35. Còrbes còníques. Classificació

Desarrollo del tema

# CORBES CÒNIQUES. CLASSIFICACIÓ

## 1. Introducció

Les **còniques** són corbes planes que resulten de la intersecció d'un con amb un pla. Inclouen l'el·lipse, la hipèrbola i la paràbola, a més de casos degenerats. Aquestes corbes van ser estudiades pels grecs (Apol·loni de Perga, s. III a.C.) i són fonamentals en astronomia (òrbites planetàries), òptica (miralls parabòlics) i enginyeria.

Des del punt de vista algebraic, les còniques són les corbes de segon grau en el pla.

## 2. Definició Geomètrica: Secció Cònica

Considerem un **con de revolució** amb vèrtex $V$, eix $e$ i angle d'obertura $\alpha$ (semiangle del con).

Sigui $\pi$ un pla que talla el con, formant un angle $\beta$ amb l'eix (angle entre el pla i l'eix).

**Classificació segons $\beta$:** - $\beta > \alpha$: el pla talla només una fulla → **el·lipse** (o circumferència si $\beta = 90°$) - $\beta = \alpha$: el pla és paral·lel a una generatriu → **paràbola** - $\beta < \alpha$: el pla talla les dues fulles → **hipèrbola**

**Casos degenerats:** Si el pla passa pel vèrtex, s'obtenen un punt, una recta o dues rectes.

## 3. Definició Focal

### 3.1 El·lipse

Una **el·lipse** és el lloc geomètric dels punts $P$ tals que la suma de distàncies a dos punts fixos $F_1$ i $F_2$ (focus) és constant: $$d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a$$

**Elements:** - **Focus:** $F_1(-c, 0)$ i $F_2(c, 0)$ - **Semieix major:** $a$ (sobre l'eix focal) - **Semieix menor:** $b$, amb $a^2 = b^2 + c^2$ - **Excentricitat:** $e = c/a < 1$ - **Directrius:** rectes $x = \pm a/e = \pm a^2/c$

**Equació canònica (centre a l'origen):** $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)$$

### 3.2 Hipèrbola

Una **hipèrbola** és el lloc geomètric dels punts $P$ tals que el valor absolut de la diferència de distàncies a dos focus és constant: $$|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a$$

**Elements:** - **Focus:** $F_1(-c, 0)$ i $F_2(c, 0)$ - **Semieix real:** $a$ - **Semieix imaginari:** $b$, amb $c^2 = a^2 + b^2$ - **Excentricitat:** $e = c/a > 1$ - **Asímptotes:** $y = \pm(b/a)x$ - **Directrius:** $x = \pm a^2/c$

**Equació canònica:** $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

### 3.3 Paràbola

Una **paràbola** és el lloc geomètric dels punts equidistants d'un punt fix (focus $F$) i una recta fixa (directriu $d$): $$d(P, F) = d(P, d)$$

**Elements:** - **Focus:** $F(p/2, 0)$ - **Directriu:** $x = -p/2$ - **Vèrtex:** $V(0, 0)$ - **Paràmetre:** $p$ (distància focus-directriu) - **Excentricitat:** $e = 1$

**Equació canònica:** $$y^2 = 2px$$

### 3.4 Relació Focus-Directriu

Per a totes les còniques (excepte la circumferència): $$\frac{d(P, F)}{d(P, d)} = e$$

- $e < 1$: el·lipse - $e = 1$: paràbola - $e > 1$: hipèrbola

## 4. Equació General de les Còniques

### 4.1 Forma General

Tota cònica es pot expressar com: $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

amb $A$, $B$, $C$ no tots nuls (si ho fossin, seria una recta).

### 4.2 Matrius Associades

**Matriu de la cònica:** $$M = \begin{pmatrix} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{pmatrix}$$

**Matriu de la part quadràtica:** $$Q = \begin{pmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{pmatrix}$$

### 4.3 Invariants

Sota canvis de coordenades afins, es conserven: - $\Delta = \det(M)$ (determinant de la matriu completa) - $\delta = \det(Q) = AC - B^2/4$ (discriminant) - $S = A + C$ (traça de $Q$)

## 5. Classificació de Còniques

### 5.1 Classificació Afí

El **discriminant** $\delta = AC - B^2/4$ determina el tipus:

| $\delta$ | Tipus de cònica | |----------|-----------------| | $\delta > 0$ | El·líptica (el·lipse o circumferència) | | $\delta = 0$ | Parabòlica (paràbola) | | $\delta < 0$ | Hiperbòlica (hipèrbola) |

### 5.2 Classificació Completa

Utilitzant $\delta$ i $\Delta$:

**Si $\delta > 0$ (tipus el·líptic):** - $\Delta \neq 0$: El·lipse real ($\Delta \cdot S < 0$) o imaginària ($\Delta \cdot S > 0$) - $\Delta = 0$: Un punt (el·lipse degenerada)

**Si $\delta = 0$ (tipus parabòlic):** - $\Delta \neq 0$: Paràbola - $\Delta = 0$: Dues rectes paral·leles (reals, coincidents o imaginàries)

**Si $\delta < 0$ (tipus hiperbòlic):** - $\Delta \neq 0$: Hipèrbola - $\Delta = 0$: Dues rectes secants

### 5.3 Circumferència

Cas particular de l'el·lipse amb $A = C$ i $B = 0$: $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

Centre $(h, k)$, radi $r$. Excentricitat $e = 0$.

## 6. Reducció a Forma Canònica

### 6.1 Pas 1: Eliminar el Terme Mixt $Bxy$

Si $B \neq 0$, rotar els eixos un angle $\theta$ tal que: $$\tan(2\theta) = \frac{B}{A-C}$$

El canvi de coordenades és: $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$$

### 6.2 Pas 2: Completar Quadrats (Translació)

Amb l'equació $A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0$:

Si $A' \neq 0$: completar quadrat en $x'$ Si $C' \neq 0$: completar quadrat en $y'$

S'obté la forma canònica amb el centre (o vèrtex) a l'origen.

### 6.3 Exemple

Classificar i reduir: $x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x + 8 = 0$

**Invariants:** - $A = 1$, $B = 4$, $C = 4$, $D = -6$, $E = 0$, $F = 8$ - $\delta = AC - B^2/4 = 4 - 4 = 0$ → parabòlica - $\Delta = \det(M) = 1(4 \cdot 8 - 0) - 2(2 \cdot 8 - 0) + (-3)(0 - 4 \cdot (-3)) = \ldots = -36 \neq 0$ → paràbola

**Reducció:** (Nota: $B^2 = 4AC$, el procediment implica diagonalitzar i trobar direcció principal)

## 7. Propietats Òptiques

### 7.1 El·lipse

Un raig emès des d'un focus es reflecteix cap a l'altre focus. Aplicació: sales de murmulls (whispering galleries).

### 7.2 Paràbola

Raigs paral·lels a l'eix es reflecteixen tots cap al focus. Aplicació: antenes parabòliques, fars de cotxes, telescopis.

### 7.3 Hipèrbola

Un raig dirigit cap a un focus es reflecteix cap a l'altre. Aplicació: telescopis Cassegrain.

## 8. Parametritzacions

### 8.1 El·lipse

$$\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases}, \quad t \in [0, 2\pi)$$

### 8.2 Hipèrbola

**Branca dreta:** $$\begin{cases} x = a\cosh t \\ y = b\sinh t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

O bé amb secant: $$\begin{cases} x = a\sec\theta \\ y = b\tan\theta \end{cases}$$

### 8.3 Paràbola

$$\begin{cases} x = t^2/(2p) \\ y = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

## 9. Còniques en Coordenades Polars

Amb un focus a l'origen i directriu a distància $d$: $$r = \frac{ed}{1 - e\cos\theta}$$ (directriu a l'esquerra)

o

$$r = \frac{l}{1 + e\cos\theta}$$ amb $l = ed$ (semilatus rectum)

- $e < 1$: el·lipse - $e = 1$: paràbola - $e > 1$: hipèrbola

## 10. Tangents i Normals

### 10.1 Recta Tangent

Per a la cònica $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$, la tangent en $(x_0, y_0)$: $$Axx_0 + \frac{B}{2}(xy_0 + yx_0) + Cyy_0 + \frac{D}{2}(x+x_0) + \frac{E}{2}(y+y_0) + F = 0$$

### 10.2 Casos Particulars

**El·lipse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$:** Tangent en $(x_0, y_0)$: $$\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1$$

**Paràbola $y^2 = 2px$:** Tangent en $(x_0, y_0)$: $$yy_0 = p(x + x_0)$$

## 11. Feixos de Còniques

Un **feix de còniques** generat per dues còniques $C_1$ i $C_2$ és: $$\lambda C_1 + \mu C_2 = 0, \quad (\lambda, \mu) \neq (0, 0)$$

Totes les còniques del feix passen pels punts d'intersecció de $C_1$ i $C_2$ (fins a 4 punts).

## 12. Conclusions

Les còniques són corbes de segon grau amb propietats geomètriques remarcables (focus, directrius, propietats òptiques). Es classifiquen segons el discriminant $\delta = AC - B^2/4$: el·líptiques ($\delta > 0$), parabòliques ($\delta = 0$) i hiperbòliques ($\delta < 0$). La reducció a forma canònica mitjançant rotació i translació permet identificar els elements característics de cada cònica.