📋 RESUM: Inferència estadística i estimació
**Objectiu:** inferir paràmetres poblacionals θ a partir d’una mostra i.i.d. X₁,…,Xₙ.
**Estimació puntual:** un estimador θ̂ és una funció de la mostra. Qualitats:
• Biaix: Bias(θ̂)=E[θ̂]−θ (insesgat si és 0)
• Consistència: θ̂→θ en probabilitat quan n→∞
• Eficiència: menor Var entre insesgats
• MSE: Var(θ̂)+Bias(θ̂)²
**Suficiència:** T és suficient si la versemblança factoritza (Fisher–Neyman).
**Límit de Cramér–Rao:** Var(θ̂) ≥ 1/Iₙ(θ) per estimadors insesgats (informació de Fisher).
**Mètodes de construcció:**
• Moments: igualar moments teòrics i mostral
• Màxima versemblança: maximitzar L(θ)=∏ f(x_i;θ); sovint maximitzem log L.
• (Breu) Bayes: posterior π(θ|x) ∝ L(θ;x)π(θ)
**Intervals de confiança (1−α):** P(L(X)≤θ≤U(X))=1−α.
• Mitjana normal, σ coneguda: x̄ ± z_{α/2} σ/√n
• Mitjana normal, σ desconeguda: x̄ ± t_{α/2,n−1} s/√n
• Proporció: p̂ ± z_{α/2} √(p̂(1−p̂)/n)
• Variància normal: ((n−1)s²/χ²_{1−α/2}, (n−1)s²/χ²_{α/2})
OPOSGRATIS