T29. Equacions en derivades parcials

Desarrollo del tema

# EQUACIONS EN DERIVADES PARCIALS

## 1. Introducció

Les **equacions en derivades parcials** (EDP) relacionen una funció desconeguda $u(x_1,\dots,x_n)$ amb les seves derivades parcials. Són el llenguatge natural de la física matemàtica: difusió (calor), vibracions (ones), electrostàtica (Laplace/Poisson), mecànica quàntica (Schrödinger), etc.

Aquest tema presenta els models clàssics, la classificació de segon ordre i mètodes bàsics de resolució: separació de variables, sèries de Fourier i característiques.

## 2. Classificació d’EDP de segon ordre (2 variables)

Considerem una EDP lineal de segon ordre:

$$A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}+D u_x+E u_y+F u=G.$$

La classificació depèn del discriminant:

$$\Delta=B^2-AC.$$

- **El·líptica** si $\Delta<0$ (ex.: Laplace/Poisson) - **Parabòlica** si $\Delta=0$ (ex.: calor) - **Hiperbòlica** si $\Delta>0$ (ex.: ones)

Aquesta classificació guia el tipus de condicions i el comportament de solucions.

## 3. Models fonamentals

### 3.1 Equació de Laplace i Poisson (el·líptiques)

$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0 \quad \text{(Laplace)}$$

$$\Delta u=f \quad \text{(Poisson)}.$$

**Propietats:** suavitat, principi del màxim (en domini connex, una harmònica no té màxim intern a menys que sigui constant), unicitat de solució per condicions de Dirichlet adequades.

### 3.2 Equació de la calor (parabòlica)

En 1D:

$$u_t=k u_{xx},\quad k>0.$$

Modelitza difusió/transferència tèrmica. Té propietat de suavització i principi del màxim/paràmetres temporals.

### 3.3 Equació de les ones (hiperbòlica)

En 1D:

$$u_{tt}=c^2 u_{xx},\quad c>0.$$

Modelitza vibracions d’una corda. En domini infinit, la solució general (d’Alembert) és:

$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$

## 4. Problemes de contorn i inicials

### 4.1 Tipus de condicions

- **Dirichlet:** $u$ fixat a la frontera (temperatura imposada) - **Neumann:** derivada normal $\partial u/\partial n$ (flux imposat) - **Robin:** combinació $\alpha u+\beta \partial u/\partial n$.

En equacions evolutives: - **Condició inicial:** $u(x,0)=f(x)$ - Per ones també cal $u_t(x,0)=g(x)$.

## 5. Separació de variables i problemes Sturm–Liouville

La separació consisteix a provar $u(x,t)=X(x)T(t)$. Sovint porta a un problema d’autovalors:

$$-(pX')'+qX=\lambda wX$$

amb condicions de contorn. Els autovectors formen una base ortogonal en $L^2_w$.

Exemple típic (Dirichlet en [0,L]):

$$X_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2.$$

## 6. Resolució de la calor en una barra (Dirichlet)

Problema:

$$u_t=k u_{xx},\quad 0<x<L,\ t>0,$$ $$u(0,t)=u(L,t)=0,$$ $$u(x,0)=f(x).$$

Separació: $u=X T$ ⇒ $\frac{T'}{kT}=\frac{X''}{X}=-\lambda$.

Solucions:

$$X_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad T_n(t)=e^{-k(n\pi/L)^2 t}.$$

Solució:

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k(n\pi/L)^2 t},$$

amb coeficients (Fourier sinus):

$$b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx.$$

## 7. Resolució de les ones en una corda (Dirichlet)

$$u_{tt}=c^2 u_{xx},\quad 0<x<L,$$ $$u(0,t)=u(L,t)=0,$$ $$u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x).$$

Solució:

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos\frac{n\pi c t}{L}+B_n\sin\frac{n\pi c t}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),$$

amb:

$$A_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,$$

$$B_n=\frac{2}{n\pi c}\int_0^L g(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx.$$

## 8. Mètode de característiques (EDP de primer ordre)

Per a una EDP quasi-lineal:

$$a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y=c(x,y,u),$$

es resol mitjançant corbes característiques $(x(s),y(s),u(s))$ que satisfan el sistema:

$$\frac{dx}{ds}=a,\qquad \frac{dy}{ds}=b,\qquad \frac{du}{ds}=c.$$

Al llarg d’aquestes corbes, l’EDP es redueix a una EDO.

**Exemple:** $u_x+u_y=0$ ⇒ característiques $x-y=\text{const}$ ⇒ solució general $u(x,y)=F(x-y)$.

## 9. Principis qualitatius

- **Laplace:** principi del màxim i propietat de mitjana. - **Calor:** dissipació i suavització; el màxim disminueix amb el temps. - **Ones:** propagació finita de la informació; energia conservada (sense amortiment).

## 10. Conclusions

Les EDP de segon ordre es classifiquen en el·líptiques, parabòliques i hiperbòliques, cadascuna amb comportaments i condicions naturals diferents. Els mètodes de separació de variables i Fourier són centrals per resoldre problemes en dominis simples, mentre que el mètode de característiques és essencial per a EDP de primer ordre i per entendre propagació d’informació.