T24. Integració múltiple

Desarrollo del tema

# INTEGRACIÓ MÚLTIPLE

## 1. Introducció

La **integració múltiple** estén el concepte d'integral de Riemann a funcions de diverses variables. Permet calcular volums, masses, centres de gravetat i altres magnituds en dimensions superiors. Les integrals dobles i triples són fonamentals en física, enginyeria i matemàtica aplicada.

## 2. Integrals Dobles

### 2.1 Definició sobre rectangles

Sigui $f: R \to \mathbb{R}$ fitada, on $R = [a,b] \times [c,d]$ és un rectangle.

Una **partició** de $R$ és $P = P_x \times P_y$ on $P_x$ parteix $[a,b]$ i $P_y$ parteix $[c,d]$, creant subrectangles $R_{ij}$.

**Sumes de Riemann:** $$S(P,f) = \sum_{i,j} f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta x_i \cdot \Delta y_j$$

**Definició:** $f$ és **integrable** en $R$ si existeix: $$\iint_R f(x,y)\,dA = \lim_{\|P\| \to 0} S(P,f)$$

### 2.2 Teorema de Fubini

Si $f$ és contínua en $R = [a,b] \times [c,d]$: $$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy$$

Les **integrals iterades** es poden calcular en qualsevol ordre.

### 2.3 Regions generals

**Regió de tipus I:** $D = \{(x,y) : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$ $$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$

**Regió de tipus II:** $D = \{(x,y) : c \leq y \leq d, \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$ $$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$

**Exemple:** Calcular $\iint_D xy\,dA$ on $D$ és el triangle amb vèrtexs $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$.

$D = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1-x\}$ (tipus I) $$\int_0^1 \int_0^{1-x} xy\,dy\,dx = \int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x} dx = \int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{24}$$

### 2.4 Canvi a coordenades polars

Per a regions amb simetria circular, el canvi: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$

El **jacobià** és $|J| = r$, per tant: $$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_{D^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\,dr\,d\theta$$

**Exemple:** $\iint_D e^{-(x^2+y^2)}\,dA$ on $D = \{x^2+y^2 \leq R^2\}$ $$\int_0^{2\pi} \int_0^R e^{-r^2} \cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi \left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_0^R = \pi(1 - e^{-R^2})$$

### 2.5 Propietats

1. **Linealitat:** $\iint_D (af + bg) = a\iint_D f + b\iint_D g$

2. **Additivitat:** Si $D = D_1 \cup D_2$ amb interiors disjunts: $\iint_D f = \iint_{D_1} f + \iint_{D_2} f$

3. **Monotonia:** Si $f \leq g$ en $D$, llavors $\iint_D f \leq \iint_D g$

4. **Àrea:** $\text{Àrea}(D) = \iint_D 1\,dA$

## 3. Integrals Triples

### 3.1 Definició

Per a una funció $f: E \to \mathbb{R}$ en una regió $E \subseteq \mathbb{R}^3$: $$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \lim_{\|P\| \to 0} \sum f(x_i^*, y_i^*, z_i^*) \Delta V_i$$

### 3.2 Teorema de Fubini (3D)

Si $f$ és contínua i $E = \{(x,y,z) : (x,y) \in D, \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y)\}$: $$\iiint_E f\,dV = \iint_D \left[\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA$$

### 3.3 Coordenades cilíndriques

$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z$$

Jacobià: $|J| = r$ $$\iiint_E f\,dV = \iiint_{E^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz$$

**Útil per a:** cilindres, cons, paraboloides amb simetria axial.

### 3.4 Coordenades esfèriques

$$x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi$$

on: - $\rho \geq 0$: distància a l'origen - $0 \leq \phi \leq \pi$: angle polar (des de l'eix $z$) - $0 \leq \theta < 2\pi$: angle azimutal

Jacobià: $|J| = \rho^2 \sin\phi$ $$\iiint_E f\,dV = \iiint_{E^*} f(\rho, \phi, \theta) \cdot \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$$

**Exemple:** Volum d'una esfera de radi $R$: $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{4\pi R^3}{3}$$

## 4. Canvi de Variables General

### 4.1 Teorema del canvi de variables

Si $T: S \to R$ és una transformació $C^1$ bijectiva amb jacobià no nul: $$\iint_R f(x,y)\,dA = \iint_S f(T(u,v)) \cdot |J_T(u,v)|\,du\,dv$$

on el **jacobià** és: $$J_T = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$$

### 4.2 Exemples de transformacions

**Polars:** $(r,\theta) \to (r\cos\theta, r\sin\theta)$, $|J| = r$

**El·líptiques:** Per a el·lipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ - $x = ar\cos\theta$, $y = br\sin\theta$, $|J| = abr$ - Àrea = $\pi ab$

**Afí:** $(u,v) \to (au + bv, cu + dv)$, $|J| = |ad - bc|$

## 5. Aplicacions de les Integrals Múltiples

### 5.1 Àrea i volum

**Àrea d'una regió plana:** $$A = \iint_D 1\,dA$$

**Volum sota una superfície:** $$V = \iint_D f(x,y)\,dA \quad (f \geq 0)$$

**Volum d'una regió 3D:** $$V = \iiint_E 1\,dV$$

### 5.2 Massa i densitat

Si $\rho(x,y)$ és la densitat superficial: $$M = \iint_D \rho(x,y)\,dA$$

Per a densitat volumètrica $\rho(x,y,z)$: $$M = \iiint_E \rho(x,y,z)\,dV$$

### 5.3 Centre de massa

**En 2D:** $$\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_D x \cdot \rho(x,y)\,dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \cdot \rho(x,y)\,dA$$

**En 3D:** $$\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_E x \cdot \rho\,dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_E y \cdot \rho\,dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_E z \cdot \rho\,dV$$

### 5.4 Moments d'inèrcia

**Respecte l'eix $x$:** $$I_x = \iint_D y^2 \rho(x,y)\,dA$$

**Respecte l'eix $y$:** $$I_y = \iint_D x^2 \rho(x,y)\,dA$$

**Respecte l'origen (moment polar):** $$I_0 = \iint_D (x^2 + y^2) \rho(x,y)\,dA = I_x + I_y$$

### 5.5 Àrea de superfícies

Per a una superfície $z = f(x,y)$ sobre $D$: $$S = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dA$$

O en forma paramètrica $\mathbf{r}(u,v)$: $$S = \iint_D \left|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\right|\,du\,dv$$

## 6. Integral de Gauss

Un resultat clàssic: $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$$

**Demostració:** Sigui $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx$. Llavors: $$I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$

Per tant $I = \sqrt{\pi}$.

## 7. Ordres d'Integració i Inversió

### 7.1 Inversió de l'ordre

A vegades canviar l'ordre d'integració simplifica el càlcul.

**Exemple:** $\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$

La regió és $D = \{0 \leq x \leq y, \, 0 \leq y \leq 1\}$

Invertint: $\int_0^1 \int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y \cdot e^{y^2}\,dy = \frac{e-1}{2}$

### 7.2 Regla pràctica

1. Dibuixar la regió $D$ 2. Descriure-la com a tipus I i tipus II 3. Escollir l'ordre que simplifiqui la integral interior

## 8. Integrals Impròpies Múltiples

Quan la regió és no fitada o l'integrand té singularitats:

$$\iint_D f\,dA = \lim_{n \to \infty} \iint_{D_n} f\,dA$$

on $\{D_n\}$ és una successió exhaustiva de $D$.

**Exemple:** $\iint_{\mathbb{R}^2} \frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}\,dA$

En polars: $\int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} \frac{r}{(1+r^2)^2}\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$

## 9. Conclusions

La integració múltiple és una eina fonamental per calcular quantitats físiques i geomètriques en dimensions superiors. El teorema de Fubini permet reduir integrals múltiples a iterades, i els canvis de coordenades (polars, cilíndriques, esfèriques) simplifiquen problemes amb simetria. El domini d'aquestes tècniques és essencial en física i enginyeria.