Diferencial. Aplicacions

📋 RESUM: Diferencial i aplicacions • En 1 variable: si f és derivable en a, df_a(h)=f'(a)h i f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h). • Aproximació lineal: Δf≈df; error sovint O(h²) si f'' acotada. • En ℝⁿ→ℝᵐ: f és diferenciable en a si existeix L lineal amb f(a+h)=f(a)+L(h)+o(‖h‖). L és el diferencial Df(a). • Jacobiana: J_f(a)=(∂f_i/∂x_j)(a) i df_a(h)=J_f(a)h. • Condició suficient: derivades parcials contínues (C¹) ⇒ diferenciabilitat. • Derivada direccional: D_u f(a)=∇f(a)·u; màxim = ‖∇f‖. • Pla tangent a z=f(x,y): z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b). • Regla de la cadena: D(f∘g)(a)=Df(g(a))·Dg(a). • Propagació d’errors: Δy≈Σ f_{x_i}(a)Δx_i. • Taylor multivariable: f(a+h)=f(a)+∇f(a)·h+½ hᵀH_f(a)h+o(‖h‖²).