Doaneko gaia · Matematika
Matematika-ren gai osoaren irakurketa askea 2026ko oposizioetarako. 143 gai eguneratuta. Erregistratu gabe.
Temari oficial de Matemàtiques (MA), cos de professors d’ensenyament secundari, DOGC Resolució EDU/3326/2022.
Sakatu edozein gai irakurketa osora sartzeko.
📋 RESUM: Nombres naturals i sistemes de numeració • Axiomes de Peano: 5 axiomes que defineixen ℕ (zero, successor, injectivitat, inducció) • Sistemes posicionals: valor = Σ dᵢ·bⁱ (decimal, binari, hexadecimal) • Sistemes no posicionals: romà (additiu/sostrastiu) • Conversions: divisions successives (10→b), polinomi (b→10) • Operacions: clausura, associativa, commutativa, distributiva • Inducció: pas base + pas inductiu per demostrar ∀n∈ℕ • Història: egipcis, babilonis (base 60), maies (base 20), hindú-àrab (zero!)
📋 **RESUM - Anells i Cossos** 🔢 **Anell $(A,+,\cdot)$:** Grup abelià $(A,+)$ + semigrup $(A,\cdot)$ + distributivitat ⭐ **Cos $(K,+,\cdot)$:** Anell commutatiu unitari on tot element $\ne 0$ té invers 🏗️ **Construccions:** - $\mathbb{Z}$ des de $\mathbb{N}$: classes d'equivalència de parells $(a,b) \sim a-b$ - $\mathbb{Q}$ des de $\mathbb{Z}$: classes de fraccions $(a,b) \sim a/b$ - $\mathbb{R}$ des de $\mathbb{Q}$: talls de Dedekind o successions de Cauchy - $\mathbb{C}$ des de $\mathbb{R}$: parells $(a,b) = a+bi$ amb producte especial 📊 **Jerarquia:** $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
📋 RESUM: Espais vectorials • **Definició:** Conjunt V amb suma i producte per escalars que satisfà 8 axiomes (4 de grup abelià per la suma, 2 del producte, 2 distributius) • **Exemples:** $\mathbb{R}^n$, polinomis $\mathbb{R}[x]_n$, matrius $\mathcal{M}_{m \times n}$, funcions contínues $\mathcal{C}[a,b]$ • **Subespais:** $W \subseteq V$ tancat per suma i producte escalar, amb $\vec{0} \in W$. Fórmula de Grassmann: $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$ • **Dependència lineal:** Vectors LD si existeix combinació lineal nul·la amb coeficients no tots zero • **Base:** Conjunt LI i generador. Tot vector s'escriu de forma única com a combinació lineal dels vectors de la base • **Dimensió:** Nombre d'elements de qualsevol base (invariant per Steinitz). $\dim(\mathbb{R}^n) = n$, $\dim(\mathbb{R}[x]_n) = n+1$ • **Canvi de base:** Matriu $P$ amb columnes = coordenades de la nova base en l'antiga. $[v]_B = P \cdot [v]_{B'}$ • **Espai quocient:** $V/W$ té dimensió $\dim V - \dim W$
📋 RESUM: Aplicacions lineals i espai dual • **Aplicació lineal:** $f: V \to W$ que satisfà $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$. Queda determinada pels valors sobre una base. • **Nucli i imatge:** $\ker(f) = \{v : f(v) = 0\}$ (subespai de V), $\text{Im}(f) = \{f(v) : v \in V\}$ (subespai de W) • **Teorema rang-nul·litat:** $\dim(\ker f) + \dim(\text{Im} f) = \dim(V)$ • **Matriu associada:** Columnes = coordenades de $f(e_j)$ en la base d'arribada. $[f(v)]_{B'} = M \cdot [v]_B$ • **Isomorfisme:** Aplicació lineal bijectiva. Dos espais són isomorfs ⟺ mateixa dimensió • **Espai dual:** $V^* = \mathcal{L}(V, K)$ = formes lineals. $\dim(V^*) = \dim(V)$ • **Base dual:** $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (1 si i=j, 0 altrament) • **Bidual:** $V^{**}$ isomorf canònicament a $V$ (reflexivitat en dimensió finita) • **Aplicació dual:** $f^*: W^* \to V^*$ definida per $f^*(\psi) = \psi \circ f$. Matriu = transposada
📋 RESUM: Matrius i aplicacions • **Definició:** Taula $m \times n$ d'elements d'un cos. $\mathcal{M}_{m \times n}(K)$ és espai vectorial de dimensió $mn$ • **Operacions:** Suma (element a element), producte per escalar, producte de matrius (no commutatiu!): $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ • **Transposada:** $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Propietat clau: $(AB)^T = B^T A^T$ • **Matrius especials:** Simètrica ($A^T = A$), antisimètrica ($A^T = -A$), ortogonal ($Q^T Q = I$), diagonal, triangular • **Inversa:** $A^{-1}$ existeix ⟺ $\det(A) \neq 0$ ⟺ $\text{rang}(A) = n$. Càlcul: Gauss-Jordan o adjunta • **Rang:** Nombre màxim de files/columnes LI. Es calcula escalonant • **Operacions elementals:** Intercanvi, escalat, combinació de files → forma escalonada • **Aplicacions:** Sistemes lineals, transformacions geomètriques, grafs, cadenes de Markov, imatges
📋 RESUM: Determinants • **Definició axiomàtica:** Funció multilineal per files, alternada, amb det(I) = 1 • **Fórmula:** $\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_i a_{i,\sigma(i)}$ • **Propietats clau:** $\det(A^T) = \det(A)$, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ • **Operacions elementals:** Intercanvi → canvi signe, escalar fila → multiplica det, suma files → no canvia • **Càlcul:** Escalonament (Gauss) o desenvolupament per adjunts (Laplace) • **Invertibilitat:** $A$ invertible ⟺ $\det(A) \neq 0$ • **Matriu adjunta:** $A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I$, per tant $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ • **Regla de Cramer:** $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ • **Geometria:** $|\det|$ = factor d'escala de volum, signe = orientació • **Autovalors:** $\det(A) = \prod \lambda_i$
📋 RESUM: Sistemes d'equacions lineals • **Formulació:** $Ax = b$. Matriu ampliada $(A|b)$ • **Teorema de Rouché-Frobenius:** Compatible ⟺ rang(A) = rang(A|b). Si r = n: determinat. Si r < n: indeterminat amb n-r graus de llibertat • **Sistemes homogenis ($b=0$):** Sempre compatibles. Solucions no trivials si rang(A) < n • **Mètodes de resolució:** - Gauss: escalonament + substitució regressiva - Gauss-Jordan: forma escalonada reduïda - Cramer: $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ (només n×n determinats) - Inversa: $x = A^{-1}b$ • **Estructura de solucions:** $x = x_p + x_h$ (particular + homogènia) • **Interpretació geomètrica:** 2D = rectes, 3D = plans • **Mínims quadrats:** Per sistemes incompatibles, minimitzar $\|Ax-b\|^2$: $(A^TA)\hat{x} = A^Tb$
📋 RESUM: Espais mètrics • **Definició:** $(X, d)$ amb $d$ satisfent: no negativitat, $d(x,y)=0 ⟺ x=y$, simetria, desigualtat triangular • **Exemples:** $(\mathbb{R}^n, d_2)$ euclidià, mètrica del taxista $d_1$, del màxim $d_\infty$, discreta • **Topologia:** Boles $B(a,r) = \{x : d(x,a) < r\}$. Oberts = unions de boles • **Convergència:** $x_n \to x ⟺ d(x_n, x) \to 0$ • **Continuïtat:** $\varepsilon-\delta$ o preimatge d'oberts és obert • **Completesa:** Tota successió de Cauchy convergeix. $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{C}[a,b]$ són complets • **Compacitat:** Tot recobriment per oberts té subrecobriment finit. En $\mathbb{R}^n$: compacte ⟺ tancat i fitat • **Teorema de Banach:** En espai complet, tota contracció té únic punt fix
📋 RESUM: Espais topològics • **Definició:** $(X, \tau)$ amb $\tau$ = família d'oberts satisfent: ∅, X ∈ τ; unions arbitràries i interseccions finites d'oberts són obertes • **Exemples:** Trivial {∅, X}, discreta 𝒫(X), usual de ℝ, induïda per mètrica, cofinita, Zariski • **Base:** Família B tal que tot obert és unió d'elements de B • **Interior/Clausura/Frontera:** A° = major obert ⊆ A, Ā = menor tancat ⊇ A, ∂A = Ā \ A° • **Continuïtat:** f⁻¹(obert) és obert. Homeomorfisme = bijecció bicontinua • **Hausdorff (T₂):** Punts distints tenen entorns disjunts. Garanteix unicitat de límits • **Compacitat:** Tot recobriment per oberts té subrecobriment finit. Tychonoff: producte de compactes és compacte • **Connexitat:** No és unió disjunta de dos oberts no buits. Connex per arcs ⟹ connex • **Producte/Quocient:** Topologia producte té base U×V. Quocient: V obert ⟺ f⁻¹(V) obert
📋 RESUM: Funcions reals i límits • Una funció real d’una variable és $f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. El límit descriu el valor al qual s’apropa $f(x)$ quan $x$ s’apropa a un punt $a$ (sense necessitat que $f(a)$ existeixi). • **Definició $\varepsilon-\delta$:** $\lim_{x\to a} f(x)=L$ si per a tot $\varepsilon>0$ existeix $\delta>0$ tal que $0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$. El límit és únic. • **Límits laterals:** el límit existeix si i només si existeixen $\lim_{x\to a^-}f(x)$ i $\lim_{x\to a^+}f(x)$ i coincideixen. • **Límits infinits i a l’infinit:** definicions anàlogues amb $M$ gran o amb $x>A$. Permeten estudiar asímptotes. • **Propietats:** linealitat, producte, quocient (si el denominador no tendeix a 0), potències i composició amb funcions contínues. • **Teoremes clau:** sandvitx (pont), caràcter local, criteri seqüencial (en $\mathbb{R}$). • **Indeterminacions:** $0/0$, $\infty/\infty$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, etc. Tècniques: factoritzar, racionalitzar, canvis de variable i límits notables. • **Asímptotes:** vertical ($x=a$ si $f\to\pm\infty$), horitzontal ($y=L$ si $x\to\pm\infty$) i obliqua ($y=mx+n$).
📋 RESUM: Continuïtat • **Definició:** f és contínua en a si $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ (equivalent a la condició $\varepsilon-\delta$). En extrems d’un interval tancat s’utilitza continuïtat unilateral. • **Discontinuïtats:** - Evitable: el límit existeix però f(a) no existeix o és diferent. - De salt: límits laterals finits però diferents. - Infinita: límit lateral és ±∞. - Essencial/oscil·latòria: no existeix límit per oscil·lació. • **Algebra:** suma, producte, quocient (si g(a)≠0) i composició conserven continuïtat. Polinomis sempre continus; racionals on el denominador no és zero. • **Teoremes clau en [a,b]:** - Bolzano: si f(a)f(b)<0, existeix c amb f(c)=0. - Valor intermedi: f pren tots els valors entre f(a) i f(b). - Weierstrass: en [a,b] f és acotada i assoleix màxim i mínim. • **Continuïtat uniforme:** un mateix δ funciona per a tots els punts. Heine–Cantor: continuïtat en compactes ⇒ uniformement contínua. • **Criteri seqüencial:** f és contínua en a ⟺ per a tota successió x_n→a, f(x_n)→f(a).
📋 RESUM: Fonaments de la geometria euclidiana • Mètode axiomàtic: termes primitius → axiomes → definicions → teoremes • 5 postulats d'Euclides: el 5è (paral·leles) és el més complex • Evolució: Egipte/Babilònia (pràctica) → Grècia (deductiva) → Àrabs → Renaixement • Teorema de Tales: proporcionalitat en rectes tallades per paral·leles • Teorema de Pitàgores: a² + b² = c² en triangles rectangles • Crisis s.XIX: Bolyai, Lobatxevski, Gauss → geometries no euclidianes • La geometria euclidiana és un model de l'espai, no l'única "veritat"
📋 RESUM: Derivació • **Definició:** $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (si existeix). Geomètricament és el pendent de la tangent: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. • **Derivades laterals:** $f'_-(a)$ i $f'_+(a)$; f és derivable ⇔ existeixen i coincideixen. • **Derivable ⇒ contínua**, però no a l’inrevés (ex.: $|x|$ a 0). • **Regles:** linealitat, producte, quocient i cadena. Inversa: $(f^{-1})'(b)=1/f'(a)$ amb $b=f(a)$. • **Derivades bàsiques:** $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=1/x$, $(\sin x)'=\cos x$, etc. • **Teoremes:** - Rolle: si f(a)=f(b) i és contínua/derivable, existeix c amb f'(c)=0. - Valor mitjà (Lagrange): existeix c amb $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. • **Aplicacions:** signe de $f'$ → monotonia; punts crítics ($f'=0$ o no existeix) → candidats a extrems; criteri de la segona derivada per classificar. • **Convexitat:** $f''\ge 0$ (convexa), $f''\le 0$ (còncava). Punt d’inflexió si canvia la concavitat. • **Taylor:** $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ (aproximació lineal). Newton: $x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$.
📋 RESUM: Sèries de potències i funcions usuals **Conceptes fonamentals:** • Sèrie de potències: Σcₙ(x-a)ⁿ amb radi de convergència R • Fórmula de Cauchy-Hadamard: 1/R = limsup ⁿ√|cₙ| • Dins l'interval: funció contínua, infinitament derivable, integrable terme a terme **Teorema de Taylor:** • f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ • Residu de Lagrange: Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x-a)ⁿ⁺¹ **Desenvolupaments essencials (R = radi):** • eˣ = Σ xⁿ/n! (R = ∞) • sin x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! (R = ∞) • cos x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! (R = ∞) • ln(1+x) = Σ (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n (R = 1) • (1+x)ᵅ = Σ (α choose n)xⁿ (R = 1) • arctan x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1) (R = 1) **Aplicacions:** càlcul de límits, integrals, EDOs, aproximacions, fórmula d'Euler.
📋 RESUM: Estudi global de funcions **Anàlisi prèvia:** • Domini: restriccions (fraccions, arrels, logaritmes) • Paritat: f(-x) = f(x) parella, f(-x) = -f(x) senar • Periodicitat: f(x+T) = f(x) • Punts de tall: amb eix Y (x=0), amb eix X (f(x)=0) **Límits i asímptotes:** • AV: lim_{x→a} f(x) = ±∞ • AH: lim_{x→±∞} f(x) = L • AO: y = mx + n on m = lim f(x)/x, n = lim(f(x) - mx) **Estudi diferencial:** • f'(x) > 0: creixent; f'(x) < 0: decreixent • Punts crítics: f'(c) = 0 → possibles extrems • f''(x) > 0: còncava amunt; f''(x) < 0: còncava avall • Punts d'inflexió: f''(c) = 0 amb canvi de signe **Protocol:** Domini → Simetries → Talls → Asímptotes → f' (monotonia, extrems) → f'' (concavitat, inflexió) → Gràfica
📋 RESUM: Integració de funcions d'una variable **Integral indefinida:** • Primitiva: F'(x) = f(x) → ∫f(x)dx = F(x) + C • Propietat de linealitat **Tècniques d'integració:** • Canvi de variable: ∫f(φ(t))φ'(t)dt • Parts: ∫u dv = uv - ∫v du (regla ILATE) • Fraccions simples: descomposició de racionals • Trigonomètriques: substitució Weierstrass t = tan(x/2) **Integral definida (Riemann):** • ∫[a,b] f = lim(sumes de Riemann) • Propietats: linealitat, additivitat, monotonia **Teorema Fonamental:** • 1a part: F(x) = ∫[a,x] f(t)dt → F'(x) = f(x) • 2a part (Barrow): ∫[a,b] f = F(b) - F(a) **Integrals impròpies:** interval o integrand no fitat, criteris de convergència **Aplicacions:** àrea, longitud d'arc, volum i superfície de revolució
📋 RESUM: Integració múltiple **Integrals dobles:** • Teorema de Fubini: ∬_R f dA = ∫∫ f(x,y) dy dx (ordre intercanviable) • Tipus I: límits y = g₁(x) a g₂(x); Tipus II: límits x = h₁(y) a h₂(y) • Coordenades polars: dA = r dr dθ **Integrals triples:** • Coordenades cilíndriques: dV = r dr dθ dz • Coordenades esfèriques: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ **Canvi de variables:** • ∬_R f(x,y) dA = ∬_S f(T(u,v)) |J| du dv • Jacobià: J = det(∂(x,y)/∂(u,v)) **Aplicacions:** • Àrea/Volum: ∬1 dA, ∭1 dV • Massa: ∬ρ dA, centre de massa: x̄ = (1/M)∬xρ dA • Moments d'inèrcia: Ix = ∬y²ρ dA • Àrea de superfícies: ∬√(1 + fx² + fy²) dA
📋 RESUM: Funcions de diverses variables i derivades parcials **Topologia de ℝⁿ:** • Norma: ‖x‖ = √(Σxᵢ²), distància, boles obertes • Conjunts: obert, tancat, compacte (tancat i fitat), connex **Límits:** • El límit ha de ser únic per tots els camins • Límits iterats iguals NO garanteixen existència del límit • Tècnica: polars per demostrar existència **Derivades parcials:** • ∂f/∂x = lim_{h→0} [f(a+h,b) - f(a,b)]/h • Teorema de Schwarz: fxy = fyx (si contínues) **Gradient:** • ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...) — direcció de màxim creixement • Perpendicular a corbes de nivell **Derivada direccional:** Du f = ∇f · u **Regla de la cadena:** dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) **Derivació implícita:** dy/dx = -Fx/Fy **Important:** Existència de derivades parcials ≠ continuïtat
📋 RESUM: Diferencial i aplicacions • En 1 variable: si f és derivable en a, df_a(h)=f'(a)h i f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h). • Aproximació lineal: Δf≈df; error sovint O(h²) si f'' acotada. • En ℝⁿ→ℝᵐ: f és diferenciable en a si existeix L lineal amb f(a+h)=f(a)+L(h)+o(‖h‖). L és el diferencial Df(a). • Jacobiana: J_f(a)=(∂f_i/∂x_j)(a) i df_a(h)=J_f(a)h. • Condició suficient: derivades parcials contínues (C¹) ⇒ diferenciabilitat. • Derivada direccional: D_u f(a)=∇f(a)·u; màxim = ‖∇f‖. • Pla tangent a z=f(x,y): z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b). • Regla de la cadena: D(f∘g)(a)=Df(g(a))·Dg(a). • Propagació d’errors: Δy≈Σ f_{x_i}(a)Δx_i. • Taylor multivariable: f(a+h)=f(a)+∇f(a)·h+½ hᵀH_f(a)h+o(‖h‖²).
📋 RESUM: Sèries de Fourier • Per a funcions 2π-periòdiques: f(x) ~ a₀/2 + Σ_{n≥1}(a_n cos nx + b_n sin nx). • Coeficients: a₀=(1/π)∫_{-π}^{π} f, a_n=(1/π)∫ f cos nx, b_n=(1/π)∫ f sin nx. • Ortogonalitat de sin/cos a [-π,π] ⇒ càlcul per projecció. • Forma complexa: f ~ Σ c_n e^{inx}, c_n=(1/2π)∫ f e^{-inx}. • Simetries: f parella ⇒ b_n=0; f senar ⇒ a_n=0. • Convergència (Dirichlet): la sèrie convergeix a (f(x⁺)+f(x⁻))/2; a f en punts continus. • Fenomen de Gibbs: sobreoscil·lació prop de salts. • Parseval: (1/π)∫|f|² = a₀²/2 + Σ(a_n²+b_n²). • Període T: freqüència fonamental ω₀=2π/T. • Aplicacions: anàlisi de senyals i resolució d’EDP (calor, ones) per separació de variables.
📋 RESUM: Equacions diferencials ordinàries • EDO: relació entre y(x) i les seves derivades; ordre = derivada màxima. • Primer ordre: – Separable: y'=g(x)h(y) ⇒ ∫dy/h(y)=∫g(x)dx. – Lineal: y'+p(x)y=q(x), factor integrant μ=e^{∫p} ⇒ (μy)'=μq. – Bernoulli: y'+py=qy^α ⇒ v=y^{1-α} lineal. – Homogènia: y'=F(y/x), substitució y=vx. – Exacta: Mdx+Ndy=0 amb M_y=N_x ⇒ Φ(x,y)=C. • Segon ordre lineal (coef. constants): y''+ay'+by=0 ⇒ característica r²+ar+b=0. – Arrels reals, doble o complexes ⇒ formes conegudes. – No homogènia: y=y_h+y_p (coeficients indeterminats o variació de paràmetres). • Sistemes lineals: x'=Ax+b(t), solució amb e^{At}. • Existència i unicitat: Picard–Lindelöf (continuïtat + Lipschitz en y) ⇒ solució única. • Qualitatiu: punts d’equilibri i estabilitat en autònomes; classificació per valors propis en 2D.
📋 RESUM: Equacions en derivades parcials • EDP: equacions per a u(x₁,…,xₙ) amb derivades parcials. • EDP lineal de 2n ordre (2 variables): A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}+…=G. • Classificació: Δ=B²-AC. – El·líptica (Δ<0): Laplace/Poisson, principi del màxim. – Parabòlica (Δ=0): calor, difusió i suavització. – Hiperbòlica (Δ>0): ones, propagació finita. • Condicions: Dirichlet (u), Neumann (∂u/∂n), Robin (combinació); inicials en evolutives. • Separació de variables: u=X·T ⇒ problemes d’autovalors Sturm–Liouville; apareixen sèries de Fourier. • Calor (0,L): u(x,t)=Σ b_n sin(nπx/L)e^{-k(nπ/L)²t}. • Ones (0,L): u(x,t)=Σ (A_n cos(nπct/L)+B_n sin(nπct/L)) sin(nπx/L). • Característiques (1r ordre): a u_x+b u_y=c ⇒ dx/ds=a, dy/ds=b, du/ds=c.
📋 RESUM: Nombres enters, divisibilitat i congruències • ℤ es construeix des de ℕ×ℕ amb relació d'equivalència (a,b)~(c,d) ⟺ a+d=b+c • Divisibilitat: a|b ⟺ ∃k: b=ak • Algorisme d'Euclides: mcd(a,b) = mcd(b, a mod b) • Identitat de Bézout: mcd(a,b) = ax + by • Teorema Fonamental: tot n>1 és producte únic de primers • Congruències: a≡b (mod n) ⟺ n|(a-b) • Propietat: mcd(a,b)·mcm(a,b) = |ab| • Aplicacions: RSA, ISBN, calendari
📋 RESUM: Espais de Hilbert • Producte escalar ⟨·,·⟩ ⇒ norma ‖x‖=√⟨x,x⟩, distància i geometria (ortogonalitat). • Cauchy–Schwarz: |⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖. • Hilbert: espai amb producte escalar complet en la norma. • Exemples: ℝⁿ, ℓ², L²[a,b]. • Complement ortogonal: M^⊥={x:⟨x,m⟩=0}. Si M tancat, H=M⊕M^⊥. • Teorema de projecció: per M tancat, existeix únic P_Mx∈M que minimitza ‖x-y‖; x-P_Mx∈M^⊥. • BON: (e_n) ortonormal i densa ⇒ x=Σ⟨x,e_n⟩e_n (en norma). • Parseval: ‖x‖²=Σ|⟨x,e_n⟩|²; Bessel: Σ|⟨x,e_n⟩|²≤‖x‖². • Gram–Schmidt: ortonormalitza una família independent. • Operadors acotats, adjunt T*, autoadjunts i unitaris. • Riesz: tot funcional continu φ s’escriu com φ(x)=⟨x,y⟩. • Aplicacions: Fourier com projecció en L², mínims quadrats, formulacions variacionals i quàntica.
📋 RESUM: Funcions analítiques i aplicacions • Derivabilitat complexa: f'(z₀) = lim[h→0] (f(z₀+h)-f(z₀))/h (límit independent de la direcció) • Equacions de Cauchy-Riemann: ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x (condició necessària i suficient) • Funció analítica (holomorfa): derivable en tot punt d'un obert; implica C∞ i desenvolupable en sèrie de Taylor • Funcions harmòniques: Δu = 0; les parts real i imaginària d'una funció analítica són harmòniques conjugades • Teorema de Cauchy: ∮f(z)dz = 0 per a f analítica en domini simplement connex • Fórmula integral de Cauchy: f(z₀) = (1/2πi)∮f(z)/(z-z₀)dz • Sèrie de Laurent: desenvolupament amb potències negatives per a singularitats • Singularitats: evitables (límit finit), pols (límit infinit), essencials (comportament caòtic) • Residu: coeficient a₋₁ de Laurent; Res(f,z₀) per a pol simple = lim(z-z₀)f(z) • Teorema dels residus: ∮f(z)dz = 2πi·Σ Res(f,zₖ) — eina per calcular integrals reals • Aplicacions: dinàmica de fluids, electroestàtica, transformacions conformes, teoria de nombres
📋 RESUM: Transformades de Laplace i aplicacions • Definició: ℒ{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^{-st}dt, amb s = σ + iω complex • Transformades bàsiques: ℒ{1}=1/s, ℒ{tⁿ}=n!/s^{n+1}, ℒ{e^{at}}=1/(s-a), ℒ{sin(ωt)}=ω/(s²+ω²) • Linealitat: ℒ{af+bg} = aF(s)+bG(s) • Translació en s: ℒ{e^{at}f(t)} = F(s-a) • Translació en t: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e^{-as}F(s) (amb u graó de Heaviside) • Derivades: ℒ{f'} = sF(s)-f(0), ℒ{f''} = s²F(s)-sf(0)-f'(0) — clau per EDOs • Convolució: ℒ{f*g} = F(s)·G(s), amb (f*g)(t) = ∫₀^t f(τ)g(t-τ)dτ • Delta de Dirac: ℒ{δ(t)} = 1, ℒ{δ(t-a)} = e^{-as} • Inversa per fraccions parcials: descomposar P(s)/Q(s) segons arrels (simples, repetides, complexes) • Aplicació a EDOs: transformar → equació algebraica → resoldre → invertir • Funció de transferència: H(s) = Y(s)/X(s) — estabilitat si pols amb Re<0 • Aplicacions: circuits RLC (impedàncies), sistemes mecànics, teoria de control
📋 RESUM: Geometria afí i espai afí • Espai afí: terna (𝒜, V, +) amb punts, espai vectorial i acció que satisfà axiomes (neutre, associativitat, transitivitat) • Vector de posició: únic vector PQ tal que P + PQ = Q; relació de Chasles: PQ + QR = PR • Referència afí: origen O + base {e₁,...,eₙ}; coordenades via OP = Σxᵢeᵢ • Varietat afí: 𝓛 = P + W (punt base + subespai director); dim(𝓛) = dim(W) • Nomenclatura: punt (dim 0), recta (dim 1), pla (dim 2), hiperplà (codim 1) • Equacions: paramètriques (amb paràmetres λ) o implícites/cartesianes (equacions lineals) • Intersecció: 𝓛₁ ∩ 𝓛₂ ≠ ∅ ⟺ P₁P₂ ∈ W₁ + W₂; fórmula de Grassmann afí • Paral·lelisme: W₁ ⊆ W₂ o W₂ ⊆ W₁; estrictament paral·leles si W₁ = W₂ • Raó simple: r(A,B,C) = λ amb AC = λ·AB; invariant afí fonamental • Coordenades baricèntriques: Q = Σλᵢ·Pᵢ amb Σλᵢ = 1 • Aplicació afí: f(P+v) = f(P) + f̄(v); en coordenades: f(X) = AX + b • Propietats preservades: alineació, paral·lelisme, raó simple, baricentre • Afinitat: aplicació afí bijectiva (det(A) ≠ 0); exemples: translacions, homoteties, simetries
📋 RESUM: Geometria mètrica i espai euclidià • Producte escalar: ⟨·,·⟩:V×V→ℝ simètric, bilineal, definit positiu; canònic: u·v = Σuᵢvᵢ • Matriu de Gram: G = (⟨eᵢ,eⱼ⟩); en base ortonormal G = I • Norma: ‖v‖ = √⟨v,v⟩; distància d(P,Q) = ‖PQ‖ • Desigualtat Cauchy-Schwarz: |⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖ • Angle: cos θ = ⟨u,v⟩/(‖u‖·‖v‖) • Ortogonalitat: u⊥v ⟺ ⟨u,v⟩=0; V = W ⊕ W^⊥ • Gram-Schmidt: procés per construir base ortogonal a partir de qualsevol base • Projecció ortogonal: proy_W(v) = Σ ⟨v,uᵢ⟩/⟨uᵢ,uᵢ⟩ · uᵢ • Producte vectorial: u×v perpendicular a u i v, ‖u×v‖ = àrea paral·lelogram • Producte mixt: [u,v,w] = u·(v×w) = det; |[u,v,w]| = volum paral·lelepípede • Distància punt-pla: d = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²) • Distància punt-recta: d = ‖AP×v‖/‖v‖ • Isometria: preserva distàncies; matriu ortogonal (AᵀA = I) • Isometries directes (det=1) vs inverses (det=-1)
📋 RESUM: Corbes còniques i classificació • Definició geomètrica: secció d'un con per un pla; angle pla/eix determina el tipus • El·lipse: d(P,F₁)+d(P,F₂)=2a; eq. canònica x²/a²+y²/b²=1; excentricitat e=c/a<1 • Hipèrbola: |d(P,F₁)-d(P,F₂)|=2a; eq. canònica x²/a²-y²/b²=1; e=c/a>1; asímptotes y=±(b/a)x • Paràbola: d(P,F)=d(P,directriu); eq. canònica y²=2px; e=1 • Relació focus-directriu: d(P,F)/d(P,d)=e per a totes les còniques • Equació general: Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 • Discriminant: δ = AC-B²/4 determina el tipus (>0 el·líptic, =0 parabòlic, <0 hiperbòlic) • Classificació completa: usar δ i Δ=det(M) per distingir casos degenerats • Reducció canònica: 1) Rotació per eliminar Bxy, 2) Translació per completar quadrats • Propietats òptiques: reflexió respecte focus (paràbola concentra raigs paral·lels) • Coordenades polars: r = l/(1+e·cos θ) amb focus a l'origen • Tangent: equació polaritzada respecte al punt de tangència
📋 RESUM: Quàdriques i classificació • Quàdrica: superfície de 2n grau en ℝ³: Ax²+By²+Cz²+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 • Forma matricial: XᵀQX + LᵀX + J = 0 amb Q simètrica (part quadràtica) • Rotacions: per teorema espectral, Q es diagonalitza amb canvi ortogonal → elimina termes mixtos • Translacions: completar quadrats elimina termes lineals; si queda sense lineals → quàdrica central (té centre) • Invariants: rang rg(Q) i signatura (p,n) (Sylvester); determinants det(Q) i det(M) per casos degenerats • Formes canòniques centrals: el·lipsoide x²/a²+y²/b²+z²/c²=1; hiperboloides (1 fulla o 2); con el·líptic (=0) • Formes parabòliques (rang 2): paraboloide el·líptic x²/a²+y²/b²=2pz; paraboloide hiperbòlic x²/a²−y²/b²=2pz • Cilindres: una variable no apareix → cilindre el·líptic/hiperbòlic/parabòlic • Superfícies reglades: con, cilindres, paraboloide hiperbòlic, hiperboloide d’1 fulla • Procediment: construir Q → diagonalitzar → completar quadrats → identificar tipus i realitat/degeneració
📋 RESUM: Corbes en el pla i en l’espai • Representacions: paramètrica γ(t), implícita F(x,y)=0, explícita y=f(x), polars r(θ) • Regularitat: corba regular si γ'(t)≠0; defineix direcció tangent • Tangent: en paramètrica, línia tangent ℓ(s)=γ(t₀)+sγ'(t₀); en implícita, Fₓ(x₀,y₀)(x-x₀)+Fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀)=0 • Longitud d’arc: L=∫‖γ'(t)‖dt; si y=f(x): L=∫√(1+f'(x)²)dx • Parametrització per arc s: imposa ‖dγ/ds‖=1 i simplifica curvatura • Curvatura plana: κ(t)=|x'y''−y'x''|/(x'²+y'²)^{3/2}; en arc: κ=‖T'‖ • Corbes espacials: κ(t)=‖γ'×γ''‖/‖γ'‖³; torsió τ=(γ',γ'',γ''')/‖γ'×γ''‖² • Triedre de Frenet: T tangent, N normal, B binormal; fórmules T'=κN, N'=-κT+τB, B'=-τN • Plans associats: osculador (T,N), normal (N,B), rectificant (T,B) • Exemple: hèlix (a cos t, a sin t, bt) té κ i τ constants
📋 RESUM: Superfícies i curvatura • Superfície parametritzada: X(u,v)∈ℝ³ regular si X_u×X_v≠0 • Pla tangent: generat per X_u i X_v; normal unitari n=(X_u×X_v)/‖X_u×X_v‖ • 1a forma fonamental: I=E du²+2F dudv+G dv², E=⟨X_u,X_u⟩, F=⟨X_u,X_v⟩, G=⟨X_v,X_v⟩ • Longitud i àrea: L=∫√(Eū²+2Fūṽ+Gṽ²)dt; dA=√(EG−F²)dudv • 2a forma fonamental: II=e du²+2f dudv+g dv², e=⟨X_uu,n⟩, f=⟨X_uv,n⟩, g=⟨X_vv,n⟩ • Curvatures principals k₁,k₂: autovalors de l’operador forma; det(II−kI)=0 • Curvatura gaussiana: K=k₁k₂=(eg−f²)/(EG−F²), intrínseca (teorema egregi) • Curvatura mitjana: H=(k₁+k₂)/2; superfícies mínimes si H=0 • Signes de K: K>0 el·líptica; K=0 desenvolupable; K<0 sella • Geodèsiques: corbes de curvatura geodèsica nul·la, localment minimitzen distància; a l’esfera són grans cercles
📋 RESUM: Geometria projectiva i espai projectiu • Espai projectiu: P^n(ℝ)=(ℝ^{n+1}\{0})/∼, on X∼λX (λ≠0). Punts amb coordenades homogènies [x₀:…:xₙ] • Carta afí: x₀≠0 ↔ (x₁/x₀,…,xₙ/x₀); hiperplà a l'infinit Π∞: x₀=0 • Rectes/hiperplans: equacions lineals homogènies a·x=0; a P², recta ax+by+cz=0 • Dualitat: intercanvi punt↔hiperplà; moltes propietats es dupliquen (Pascal/Brianchon) • Projectivitats: transformacions induïdes per A∈GL(n+1); grup PGL(n+1) (A i λA equivalen) • Punts a l'infinit: rectes paral·leles afins es tallen en un punt de Π∞; cada direcció ↔ punt a l'infinit • Raó doble (A,B;C,D)=((c-a)(d-b))/((c-b)(d-a)), invariant fonamental de projectivitats de P¹; cas harmònic si =−1 • Còniques projectives: equació homogènia de grau 2, XᵀQX=0; tangent en P: PᵀQX=0 • Teoremes: Desargues (perspectiva), Pappus (col·lineació) • Aplicacions: perspectiva, homografies en visió, compactificació en geometria algebraica
📋 RESUM: Nombres racionals • Construcció: ℚ = (ℤ×ℤ*)/~ amb (a,b)~(c,d) ⟺ ad=bc • Fracció irreductible: mcd(|a|,|b|)=1 i b>0 • Operacions: a/b + c/d = (ad+bc)/bd; a/b · c/d = ac/bd • (ℚ,+,·) és un cos commutatiu • Densitat: entre dos racionals hi ha infinits altres racionals • Decimals: exactes (denominador 2ᵃ·5ᵇ), periòdics purs/mixtos • Fracció generatriu: procediment algebraic per a periòdics
📋 RESUM: Transformacions en el pla i en l’espai • Lineals: T(x)=Ax, preserven l’origen • Afins: f(x)=Ax+b; si det(A)≠0 són afinitats; preserven alineació, paral·lelisme i raó simple • Homogènies: afins en 2D/3D es representen amb matrius 3×3 i 4×4 per facilitar composició • Isometries: preserven distàncies; forma f(x)=Ax+b amb A ortogonal (AᵀA=I). Directes si det=1, inverses si det=-1 • Isometries del pla: translacions, rotacions, simetries axials, simetries lliscants • Isometries de l’espai: translacions, rotacions d’eix, simetries de pla, simetria central, moviments helicoïdals • Similituds: d’=k·d (k>0); f(x)=kAx+b. Homotetia: f(x)=O+k(x−O) • Afins destacades: cisallament (shear), projeccions, reflexions • Grups: E(n) (isometries), GL(n) (lineals invertibles), grup afí, grup de similituds • Projectives (homografies): en P², [x:y:1]↦H[x:y:1]; envien rectes a rectes i preserven la raó doble • Punts fixos: (A−I)x=−b; translació sense fixos (si b≠0), rotació amb 1 fix, simetria axial amb una recta fixa
📋 RESUM: Isometries en el pla i en l'espai **Definició:** Transformacions que preserven distàncies: d(f(P), f(Q)) = d(P, Q). **Classificació en el pla:** • Translació: T_v(P) = P + v (0 punts fixos) • Rotació: R_{O,θ} gira angle θ al voltant de O (1 punt fix) • Reflexió: S_r simetria respecte recta r (recta de punts fixos) • Simetria amb lliscament: reflexió + translació paral·lela (0 punts fixos) **Isometries directes (det = +1):** Translacions, rotacions (preserven orientació) **Isometries inverses (det = -1):** Reflexions, simetries amb lliscament (canvien orientació) **Matriu de rotació:** R_θ = ((cos θ, -sin θ), (sin θ, cos θ)) **Composició de reflexions:** • 2 eixos paral·lels (dist. d) → translació (2d) • 2 eixos secants (angle α) → rotació (2α) **Teorema fonamental:** Tota isometria = composició de màxim 3 reflexions. **Grups de simetria:** Cíclic C_n, dièdric D_n, 7 frisos, 17 grups cristal·logràfics. **Aplicacions:** Cristal·lografia, art (Escher, Alhambra), informàtica gràfica, física (teorema de Noether).
📋 RESUM: Moviments en el pla i grup de moviments **Moviments bàsics:** • Translació: T_v(P) = P + v • Rotació: R_{C,θ} - gir d'angle θ al voltant de C • Reflexió: S_r - simetria respecte recta r • Simetria amb lliscament: reflexió + translació paral·lela **Composició de reflexions:** • Eixos paral·lels (dist. d) → Translació (mòdul 2d) • Eixos secants (angle α) → Rotació (angle 2α) **Composició de rotacions:** • Mateix centre: R_{O,α} ∘ R_{O,β} = R_{O,α+β} • Centres diferents: rotació (si α+β ≠ 0) o translació (si α+β = 0) **Grup euclidià E(2):** • Estructura: E(2) ≅ ℝ² ⋊ O(2) • Subgrup directe E⁺(2): translacions + rotacions • Representació matricial amb coordenades homogènies (3×3) **Grups de simetria discrets:** • Puntuals: cíclics C_n, dièdrics D_n • Frisos: 7 tipus • Cristal·logràfics: 17 tipus (paper pintat) **Aplicacions:** Geometria computacional, art (Escher), cristal·lografia, física (teorema de Noether).
📋 RESUM: Semblances i aplicacions **Definició:** Transformació que multiplica distàncies per k: d(f(P), f(Q)) = k·d(P, Q). **Homotècia H_{O,k}:** Centre O, raó k. Formula: P' = O + k(P - O). • Punt fix: només el centre O • Rectes → rectes paral·leles (o elles mateixes si passen per O) • Composició: H_{O,k₁} ∘ H_{O,k₂} = H_{O,k₁k₂} **Descomposició:** Semblança = Isometria ∘ Homotècia. **Propietats:** • Preserva angles i proporcions • Àrees es multipliquen per k² • Volums es multipliquen per k³ **Triangles semblants - Criteris:** AA, LAL, LLL. **Teoremes clàssics:** • Tales: segments proporcionals sobre transversals • Altura: h² = m·n • Catet: a² = c·m **Raó àuria:** φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618. **Aplicacions:** Escales de mapes (1:n lineal, 1:n² àrees), maquetes, fotografia, microscòpia, fractals.
📋 RESUM: Fractals i geometria fractal **Definició:** Objectes amb autosemblança i dimensió no entera. Terme de Mandelbrot (1975). **Autosemblança:** Parts són còpies a escala del tot (exacta, aproximada o estadística). **Dimensió fractal:** • Fórmula de semblança: D = log(N) / log(r), on N = còpies, r = factor d'escala • Box-counting: D = lim log(N(ε)) / log(1/ε) **Fractals clàssics:** • Conjunt de Cantor: D ≈ 0.631, mesura zero, no numerable • Corba de Koch: D ≈ 1.262, longitud infinita, contínua no diferenciable • Triangle de Sierpinski: D ≈ 1.585, àrea zero • Esponja de Menger: D ≈ 2.727, volum zero **Fractals dinàmics:** • Conjunt de Julia J_c: frontera òrbites acotades/no acotades per f(z) = z² + c • Conjunt de Mandelbrot M: valors c amb òrbita de 0 acotada **IFS (Sistemes de Funcions Iterades):** Generació de fractals per contraccions. Joc del caos. **Aplicacions:** Gràfics 3D, antenes fractals, medicina (diagnòstic), finances, art. **Natura:** Costes, arbres, núvols, sistema circulatori, llamps.
📋 RESUM: Sistemes de referència i canvis de sistema **Sistema de referència:** origen + eixos (base) + unitats. Un punt P té coordenades segons la base: OP = x e1 + y e2 (+ z e3). **Coordenades polars:** x = r cosθ, y = r sinθ; r = √(x²+y²). **Cilíndriques:** (r,θ,z). **Esfèriques:** x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ. **Canvi de base:** per a bases B i B', [v]_B = P_{B←B'} [v]_{B'}. La matriu de canvi té com columnes els vectors de B' expressats en B. Invers: P_{B'←B} = (P_{B←B'})^{-1}. **Canvi de representació d’un operador:** A' = P_{B'←B} A P_{B←B'}. **Canvi de sistema geomètric:** • Translació d’origen: (x,y) = (t_x,t_y) + (x',y') • Rotació d’eixos: (x,y) = R_θ (x',y') amb R_θ ortogonal • Combinació: (x,y) = t + R_θ (x',y') **Aplicació:** simplificar equacions (circumferències, cònics) eliminant termes lineals (trasllat) o el terme mixt Bxy (rotació).
📋 RESUM: Distribucions discretes **Variable aleatòria discreta:** pren valors numerables {x_i} amb pmf p(x_i)=P(X=x_i), ∑p=1. CDF: F(x)=P(X≤x). **Moments:** E[X]=∑x p(x), Var(X)=E[X²]−(E[X])². Linealitat: E[aX+b]=aE[X]+b; Var(aX+b)=a²Var(X). **Bernoulli(p):** X∈{0,1}, P(1)=p. E=p, Var=p(1−p). **Binomial(n,p):** nombre d’èxits en n Bernoulli independents. P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}. E=np, Var=np(1−p). Aproximacions: Normal si np(1−p) gran; Poisson si n gran, p petit, λ=np. **Geomètrica(p):** assaigs fins al 1r èxit. P(X=k)=(1−p)^{k−1}p. E=1/p, Var=(1−p)/p². Propietat de falta de memòria. **Binomial negativa(r,p):** assaigs fins a r èxits. E=r/p, Var=r(1−p)/p². **Poisson(λ):** comptatges amb taxa mitjana λ. P(X=k)=e^{−λ}λ^k/k!. E=Var=λ. Suma de Poisson i thinning.
📋 RESUM: Distribucions contínues **Variable contínua:** existeix una densitat f(x)≥0 tal que P(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx i ∫ f = 1. Per variables contínues, P(X=x)=0. **CDF:** F(x)=P(X≤x)=∫_{−∞}^x f(t)dt i f(x)=F'(x) quan és derivable. **Moments:** E[X]=∫ x f(x)dx; Var(X)=E[X²]−(E[X])². **Uniforme(a,b):** f=1/(b−a) en [a,b]. E=(a+b)/2, Var=(b−a)²/12. **Exponencial(λ):** f(x)=λe^{−λx}, x≥0. E=1/λ, Var=1/λ². Propietat de falta de memòria. Temps entre esdeveniments en un procés de Poisson. **Normal(μ,σ²):** densitat gaussiana. E=μ, Var=σ². Estandardització: Z=(X−μ)/σ ~ N(0,1). TCL: la suma de variables i.i.d. (amb Var finita) tendeix a normal. **Gamma(α,λ):** generalitza l’exponencial. E=α/λ, Var=α/λ². **Chi-quadrat i t:** χ²_ν=∑Z_i². t_ν=Z/√(U/ν) amb cues més pesades; convergeix a N(0,1).
📋 RESUM: Inferència estadística i estimació **Objectiu:** inferir paràmetres poblacionals θ a partir d’una mostra i.i.d. X₁,…,Xₙ. **Estimació puntual:** un estimador θ̂ és una funció de la mostra. Qualitats: • Biaix: Bias(θ̂)=E[θ̂]−θ (insesgat si és 0) • Consistència: θ̂→θ en probabilitat quan n→∞ • Eficiència: menor Var entre insesgats • MSE: Var(θ̂)+Bias(θ̂)² **Suficiència:** T és suficient si la versemblança factoritza (Fisher–Neyman). **Límit de Cramér–Rao:** Var(θ̂) ≥ 1/Iₙ(θ) per estimadors insesgats (informació de Fisher). **Mètodes de construcció:** • Moments: igualar moments teòrics i mostral • Màxima versemblança: maximitzar L(θ)=∏ f(x_i;θ); sovint maximitzem log L. • (Breu) Bayes: posterior π(θ|x) ∝ L(θ;x)π(θ) **Intervals de confiança (1−α):** P(L(X)≤θ≤U(X))=1−α. • Mitjana normal, σ coneguda: x̄ ± z_{α/2} σ/√n • Mitjana normal, σ desconeguda: x̄ ± t_{α/2,n−1} s/√n • Proporció: p̂ ± z_{α/2} √(p̂(1−p̂)/n) • Variància normal: ((n−1)s²/χ²_{1−α/2}, (n−1)s²/χ²_{α/2})
📋 RESUM: Contrast d'hipòtesis **Idea:** decidir si les dades són compatibles amb H₀ (hipòtesi nul·la) o donen evidència a favor d’H₁. **Errors:** • Tipus I: rebutjar H₀ sent certa (prob. α = nivell de significació) • Tipus II: no rebutjar H₀ sent falsa (prob. β) • Potència: 1−β **p-valor:** probabilitat (sota H₀) d’obtenir un resultat tan extrem o més que l’observat. Rebutgem si p≤α. **Contrastos clàssics:** • Mitjana normal, σ coneguda: Z=(x̄−μ₀)/(σ/√n) ~ N(0,1) • Mitjana normal, σ desconeguda: T=(x̄−μ₀)/(s/√n) ~ t_{n−1} • Proporció: Z=(p̂−p₀)/√(p₀(1−p₀)/n) ≈ N(0,1) • Variància (normal): χ²=(n−1)s²/σ₀² ~ χ²_{n−1} • Dues mitjanes (variàncies iguals): t amb s_p² combinada i gl n₁+n₂−2 **Relació amb IC:** rebutjar H₀:θ=θ₀ (bilateral) al nivell α ↔ θ₀ no pertany a l’IC (1−α). **Potència:** augmenta amb n, menor variabilitat i diferència real més gran.
📋 RESUM: Nombres reals, aproximació i errors • √2 és irracional: demostració per reducció a l'absurd • Construccions de ℝ: successions de Cauchy (Cantor) o talls de Dedekind • Axioma del suprem: tot subconjunt fitat té suprem a ℝ (completitud) • Decimals: exactes i periòdics (racionals), infinits no periòdics (irracionals) • Error absolut: Eₐ = |x-a|; Error relatiu: Eᵣ = |x-a|/|x| • Propagació: suma→errors s'afegeixen; producte→errors relatius s'afegeixen • Notació científica: a×10ⁿ amb 1≤|a|<10
📋 RESUM: Regressió lineal **Model simple:** Y_i = β₀ + β₁ x_i + ε_i, amb E[ε_i]=0, Var(ε_i)=σ² (i sovint normalitat). **Mínims quadrats (OLS):** minimitza S=∑(y_i−b₀−b₁x_i)². Fórmules: • b₁ = S_xy / S_xx, on S_xx=∑(x_i−x̄)² i S_xy=∑(x_i−x̄)(y_i−ȳ) • b₀ = ȳ − b₁ x̄ La recta passa per (x̄,ȳ) i ∑e_i=0. **Variabilitat:** SST=∑(y_i−ȳ)² = SSR + SSE, amb SSE=∑e_i². **R²:** R²=SSR/SST=1−SSE/SST (en regressió simple, R²=r²). **Inferència (errors normals):** s²=SSE/(n−2). Contrast H₀:β₁=0: T=b₁/(s/√S_xx) ~ t_{n−2}. IC β₁: b₁ ± t_{α/2,n−2}·s/√S_xx. **Predicció:** IC per la mitjana a x₀ i interval de predicció (més ample) amb termes 1/n i (x₀−x̄)²/S_xx. **Diagnòstic:** residus (no linealitat, heterocedasticitat), punts influents (Cook), i en regressió múltiple, multicol·linealitat (VIF).
📋 RESUM: Correlació i regressió • **Covariància**: σ_XY = Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)/n = x̄ȳ - x̄·ȳ. Mesura variació conjunta, amb unitats. • **Coeficient de Pearson**: r = σ_XY/(σ_X·σ_Y), adimensional, -1 ≤ r ≤ 1. • **Interpretació**: r=±1 correlació perfecta, r=0 sense relació lineal, |r|>0.7 forta. • **Coeficient de determinació**: R² = r², proporció de variabilitat explicada. • **Mínims quadrats**: Minimitzar Σeᵢ² per trobar la millor recta y = a + bx. • **Pendent**: b = Cov(X,Y)/Var(X), passa pel centroide (x̄, ȳ). • **Dues rectes**: Y sobre X i X sobre Y, només coincideixen si |r|=1. • **Spearman**: Per dades ordinals, usa rangs: ρ = 1 - 6Σdᵢ²/n(n²-1). • **Correlació ≠ causalitat**: Variables confusores, direccionalitat, atzar. • **Regressió no lineal**: Transformacions (log, exp) per linealitzar models.
📋 RESUM: Estadística descriptiva uni i bidimensional • **Variables**: Qualitatives (nominals/ordinals) i quantitatives (discretes/contínues). • **Taula freqüències**: Absoluta (nᵢ), relativa (fᵢ=nᵢ/n), acumulada (Nᵢ). • **Centralització**: Mitjana (x̄=Σxᵢ/n), mediana (valor central), moda (més freqüent). • **Altres mitjanes**: Geomètrica (√ⁿ∏xᵢ), harmònica (n/Σ1/xᵢ). H≤G≤x̄≤Q. • **Quantils**: Quartils (Q₁,Q₂,Q₃), percentils (Pₖ), decils (Dᵢ). • **Dispersió**: Rang (R=max-min), variància (σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n), desviació típica (σ). • **Coeficient variació**: CV=σ/|x̄|, adimensional, compara dispersions. • **Forma**: Asimetria (g₁), curtosi (g₂>0 leptocúrtica, g₂<0 platicúrtica). • **Box plot**: Caixa Q₁-Q₃, bigotis ±1.5·RIQ, outliers fora. • **Tipificació**: z=(x-x̄)/σ → mitjana 0, desviació 1.
📋 RESUM: Combinatòria i nombres combinatoris • **Principis**: Suma (o), producte (i), complement, inclusió-exclusió. • **Factorial**: n! = n·(n-1)·...·1, amb 0! = 1. • **Coeficient binomial**: C(n,k) = n! / [k!(n-k)!], simetria i Pascal. • **Variacions sense rep.**: V(n,m) = n!/(n-m)! (ordenades, sense repetir). • **Variacions amb rep.**: VR(n,m) = nᵐ. • **Permutacions**: Pₙ = n!, circulars PC = (n-1)!. • **Perm. amb repetició**: n! / (n₁!·n₂!·...·nₖ!). • **Combinacions sense rep.**: C(n,m) = binomial, no ordenades. • **Combinacions amb rep.**: CR(n,m) = C(n+m-1, m). • **Binomi Newton**: (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. • **Aplicacions**: Probabilitat, grafs, criptografia, contrasenyes.
📋 RESUM: Variable aleatòria discreta • **Variable aleatòria**: Funció X: Ω → ℝ. Discreta si valors finits/numerables. • **Funció probabilitat**: p(xᵢ) = P(X=xᵢ), amb Σpᵢ = 1. • **Funció distribució**: F(x) = P(X≤x), escalonada i no decreixent. • **Esperança**: E[X] = Σxᵢ·pᵢ, lineal: E[aX+b] = aE[X]+b. • **Variància**: Var(X) = E[(X-μ)²] = E[X²]-(E[X])². • **Bernoulli**: 2 resultats, E=p, Var=pq. • **Binomial B(n,p)**: n assajos, P(X=k)=C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ, E=np, Var=npq. • **Poisson Po(λ)**: Esdeveniments rars, P(X=k)=e⁻λλᵏ/k!, E=Var=λ. • **Geomètrica**: Temps fins primer èxit, E=1/p, sense memòria. • **Hipergeomètrica**: Mostreig sense reposició. • **Aproximació**: B(n,p)≈Po(np) si n gran, p petit.
📋 RESUM: Variable aleatòria contínua • **Funció densitat f(x)**: f(x)≥0, ∫f(x)dx=1, P(a≤X≤b)=∫f(x)dx. • **Propietat clau**: P(X=a)=0, no distingim < i ≤. • **Funció distribució**: F(x)=P(X≤x)=∫f(t)dt, F'(x)=f(x). • **Uniforme U(a,b)**: f=1/(b-a), E=(a+b)/2, Var=(b-a)²/12. • **Exponencial Exp(λ)**: f=λe^(-λx), E=1/λ, Var=1/λ², manca memòria. • **Normal N(μ,σ²)**: Campana de Gauss, simètrica, punts inflexió μ±σ. • **Regla 68-95-99.7**: Probabilitats dins 1σ, 2σ, 3σ de la mitjana. • **Tipificació**: Z=(X-μ)/σ ~ N(0,1), usar taules Φ(z). • **Aproximació binomial**: B(n,p)≈N(np,npq) si np≥5, nq≥5. • **TCL**: Mitjana mostral → Normal quan n→∞, sigui quina sigui la distribució original.
📋 RESUM: Programació lineal • **Objectiu**: max/min una funció lineal $z=c^Tx$ sotmesa a restriccions lineals. • **Model**: variables de decisió, funció objectiu, restriccions ($\le,\ge,=$) i $x\ge0$. • **Regió factible**: intersecció de semiplans; és un conjunt **convex** (polígon/poliedre). • **Teorema fonamental**: si hi ha òptim i la regió és no buida i acotada, l’òptim s’assoleix en un **vèrtex**. • **Mètode gràfic (2 variables)**: dibuixar restriccions, trobar vèrtexs, avaluar $z$ o desplaçar rectes d’isobenefici/isocost. • **Casos**: solució única, múltiples (segment òptim), infactible (sense solucions), no acotat (sense màxim/mínim). • **Forma estàndard**: $\max c^Tx$ s.a. $Ax\le b$, $x\ge0$; amb **holgures** per passar a igualtats. • **Símplex**: algoritme que recorre vèrtexs millorant $z$ fins a òptim o detectant patologies. • **Dualitat**: a un primal li correspon un dual; dualitat feble ($c^Tx\le b^Ty$) i forta ($z^*=w^*$). • **Aplicacions**: producció, transport, dietes, mescles, planificació.
📋 RESUM: Grafs i aplicacions • **Graf** $G=(V,E)$: vèrtexs i arestes; pot ser dirigit o ponderat. • **Grau** $d(v)$ i **lema de les encaixades**: $\sum d(v)=2|E|$; #graus imparells és parell. • **Camí/cicle** i **connexió**: components connexes. • **Representacions**: matriu d’adjacència, d’incidència i llistes d’adjacència. • **Arbre**: graf connex sense cicles; equivalent a tenir $E=V-1$. • **MST**: arbre d’expansió mínim; algorismes de Kruskal i Prim. • **Euler**: circuit eulerià ⇔ tots graus parells; camí eulerià ⇔ exactament 2 graus imparells. • **Hamilton**: visita tots els vèrtexs; criteris suficients (Dirac, Ore). • **Coloració**: nombre cromàtic $\chi(G)$; grafs bipartits tenen $\chi=2$. • **Planaritat**: Euler $V-E+F=2$, límits $E\le 3V-6$; no planars $K_5$, $K_{3,3}$. • **Camins mínims**: Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd-Warshall. **Flux**: max-flow min-cut.
📋 RESUM: Mètodes numèrics per resoldre $f(x)=0$ • Objectiu: aproximar arrels quan no hi ha solució exacta. • **Bolzano**: si f contínua i f(a)·f(b)<0 en [a,b], existeix una arrel. • **Bisecció**: divideix interval amb canvi de signe; sempre convergeix; error ≤ (b-a)/2^{n+1}. Convergència lineal. • **Punt fix**: transformar a x=g(x); iterar x_{n+1}=g(x_n). Convergeix si g és contractiva (|g'|≤k<1 i g(I)⊂I). • **Newton**: x_{n+1}=x_n - f(x_n)/f'(x_n). Quadràtica per arrel simple i x₀ proper; pot divergir si f'≈0 o x₀ dolent. • **Newton modificat**: per arrel múltiple m: x_{n+1}=x_n - m f/f'. • **Secant**: substitueix derivada per diferència; x_{n+1}=x_n - f(x_n)(x_n-x_{n-1})/(f(x_n)-f(x_{n-1})). Ordre ≈1.618. • **Regula falsi**: manté interval amb canvi de signe però usa secant; pot estancar-se. • **Aturada**: |x_{n+1}-x_n|<ε o |f(x_n)|<δ; considerar arrodoniment i estabilitat.
📋 RESUM: Interpolació i aproximació • **Interpolació**: trobar $p(x)$ tal que $p(x_i)=y_i$; en $\mathbb{P}_n$ és única. • **Lagrange**: $p(x)=\sum y_i L_i(x)$ amb $L_i(x)=\prod_{j\ne i}(x-x_j)/(x_i-x_j)$. • **Newton**: forma incremental amb diferències dividides; fàcil afegir punts. • **Error d’interpolació**: $f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod (x-x_i)$. • **Runge**: nodes equiespaiats + grau alt → oscil·lacions als extrems. • **Nodes de Txebixev**: $x_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)}$ minimitzen oscil·lacions. • **Splines cúbics**: polinomis per trams amb continuïtat de $S,S',S''$; més estables. • **Aproximació (mínims quadrats)**: minimitzar $\sum (y_i-q(x_i))^2$; en ajust lineal s'obtenen equacions normals. • **Relació amb regressió**: pendent $b=\frac{\sum (x-\bar x)(y-\bar y)}{\sum (x-\bar x)^2}$. • **Taylor**: aproximació local i control d’error amb terme de Lagrange.
📋 **RESUM - Successions de Nombres Reals** 🔢 **Definició:** Aplicació $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 📈 **Monotonia:** Creixent ($a_n \le a_{n+1}$), Decreixent ($a_n \ge a_{n+1}$) 📊 **Fitació:** Superior ($a_n \le K$), Inferior ($a_n \ge k$), Fitada ($|a_n| \le M$) 🎯 **Límit (ε-N):** $\forall \varepsilon > 0, \exists N: n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$ ⚡ **Teoremes clau:** - Unicitat del límit - Àlgebra de límits - Monòtona + Fitada = Convergent - Bolzano-Weierstrass
📋 RESUM: Derivació i integració numèrica • **Derivació numèrica**: usa Taylor i diferències finites. • Progressiva: $f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, error $O(h)$. • Regressiva: $f'(x)\approx\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$, error $O(h)$. • Centrada: $f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$, error $O(h^2)$. • Segona derivada: $f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$, error $O(h^2)$. • Compromís en h: truncament ↓ amb h, arrodoniment ↑ si h massa petit. • **Integració numèrica**: dividir [a,b] en n intervals, $h=(b-a)/n$. • Rectangles: ordre global $O(h)$. • Trapezi compost: $\frac{h}{2}[f_0+2\sum f_i+f_n]$, ordre $O(h^2)$. • Simpson 1/3 compost (n parell): $\frac{h}{3}[f_0+4\sum f_{imparell}+2\sum f_{parell}+f_n]$, ordre $O(h^4)$. • **Gauss**: nodes/pesos òptims; amb m punts exacta fins grau $2m-1$. • **Richardson/Romberg**: extrapolació per eliminar el terme principal d’error.
📋 RESUM: Algorísmia i Complexitat Computacional **Algorisme:** Seqüència finita d'instruccions ben definides per resoldre un problema. Propietats: finitud, definició precisa, entrada, sortida, efectivitat. **Complexitat temporal:** Mesura operacions en funció de n. Notació O-gran (cota superior), Ω (inferior), Θ (ajustada). Classes: O(1) constant, O(log n) logarítmica, O(n) lineal, O(n log n) quasi-lineal, O(n²) quadràtica, O(2ⁿ) exponencial. **Recurrències:** Equacions que descriuen algorismes recursius. Teorema mestre per T(n) = aT(n/b) + f(n). **Classes P i NP:** P = resolubles en temps polinòmic. NP = verificables en temps polinòmic. Problema obert: P = NP? **NP-completesa:** Problemes més difícils de NP. Si un es resol en temps polinòmic, P = NP. Exemples: SAT, Clique, Viatjant de comerç. **Estratègies:** Força bruta, divideix i venceràs, programació dinàmica, greedy, backtracking. **Màquina de Turing:** Model fonamental de computació. Existeixen problemes indecidibles (Halting Problem).
📋 RESUM: Llenguatges de Programació **Conceptes bàsics:** Sintaxi (forma) vs semàntica (significat). Compiladors tradueixen tot el codi; intèrprets executen línia a línia. Tipatge estàtic (compilació) vs dinàmic (execució). **Evolució:** 1a generació (codi màquina), 2a (assemblador), 3a (alt nivell: FORTRAN, C, Pascal), 4a (SQL, MATLAB), 5a (lògics: Prolog). **Paradigmes:** - **Imperatiu:** Seqüències que modifiquen estat (C, Python) - **POO:** Objectes amb atributs i mètodes (Java, Python) - **Funcional:** Funcions pures, immutabilitat (Haskell, Lisp) - **Lògic:** Fets i regles, demostració (Prolog) - **Declaratiu:** Què, no com (SQL) **Estructures de control:** Seqüència, selecció (if), iteració (while, for), recursivitat. **Estructures de dades:** Arrays, llistes, piles (LIFO), cues (FIFO), arbres, grafs, taules hash. **Llenguatges matemàtics:** Python (NumPy, SymPy), MATLAB, R, Julia, Mathematica. **Educació:** Scratch (visual), Python (accessible), pensament computacional (descomposició, patrons, abstracció, algorismes).
📋 RESUM: Fonaments de Calculadores i Ordinadors **Àlgebra de Boole:** Sistema amb valors 0 i 1. Operacions: NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR. Lleis de De Morgan: NOT(A+B) = NOT(A)·NOT(B). **Circuits lògics:** Portes lògiques implementen operacions booleanes. NAND i NOR són universals. Circuits combinacionals (sortida = f(entrades)) vs seqüencials (amb memòria). **Sumadors:** Semisumador (S = A⊕B, C = A·B). Sumador complet inclou carry d'entrada. **Arquitectura Von Neumann:** CPU (UC + ALU), memòria única per dades i programes, E/S, bus. Cicle: fetch → decode → execute → store. **Representació d'enters:** Sense signe (0 a 2ⁿ-1). Complement a 2 per enters amb signe (-2ⁿ⁻¹ a 2ⁿ⁻¹-1). **Coma flotant IEEE 754:** (-1)ˢ × 1.m × 2^(e-bias). Simple: 32 bits. Doble: 64 bits. Errors: overflow, underflow, truncament. **Història:** Àbac → Pascalina → Babbage/Lovelace → ENIAC → Transistor → Microprocessador. Llei de Moore: duplicació de transistors cada 2 anys.
📋 RESUM: Història de les Matemàtiques **Antigues civilitzacions:** Babilonis (sexagesimal, Pitàgores), Egipcis (fraccions, àrees), Xina (decimal, Yang Hui), Índia (zero, sèries), Islam (àlgebra, transmissió). **Grècia:** Pitagòrics (irracionals), Euclides (Els Elements, mètode axiomàtic), Arquimedes (càlcul d'àrees, exhaustió), Apol·loni (còniques), Diofant (equacions). **Medieval/Renaixement:** Fibonacci (sistema hindú-àrab), Cardano (cúbica), Viète (notació), Descartes (geometria analítica). **S. XVII:** Newton i Leibniz (càlcul infinitesimal), Pascal i Fermat (probabilitat). **S. XVIII-XIX:** Euler (notació, $e^{i\pi}+1=0$), Gauss (teoria de nombres), Lobatxevski/Riemann (geometries no euclidianes), Cantor (infinits), Galois (grups). **S. XX:** Crisi dels fonaments (Russell, Gödel), topologia, teoria de la mesura, computació (Turing), caos i fractals. Demostracions: 4 colors, Fermat (Wiles). **Dones:** Hipàtia, Germain, Lovelace, Kovalévskaia, Noether, Mirzakhani. **Didàctica:** Humanitza, contextualitza, motiva, desmitifica les matemàtiques.
📋 RESUM: Matemàtica en ciència i tecnologia • Modelització: variables → formalització → resolució → validació • Física: EDO/EDP, camps (Maxwell), espais de Hilbert (quàntica) • Biologia/salut: logístic, SIR, biostatística • Enginyeria: control, senyal (Fourier), algoritmes i criptografia • Computació científica: discretització, simulació, Monte Carlo • Dades/IA: optimització + probabilitat + àlgebra lineal
📋 RESUM: Ensenyament de les matemàtiques • Finalitat: competència matemàtica i interpretació del món • Aprendre = construir significat i connexions (no només procediments) • Error com a informació didàctica (càlcul, concepte, representació) • Principis: contextualització, rigor gradual, representacions múltiples • Processos: problemes, prova, modelització, comunicació • Tecnologia: visualitzar/explorar, però amb ús crític
📋 RESUM: Resolució de problemes • Problema ≠ exercici (camí no immediat) • Polya: entendre → planificar → executar → revisar • Heurístiques: dibuix, patrons, casos simples, treballar enrere • Modelització: variables, hipòtesis, validació de resultats • Avaluació: procés, estratègia, raonament i comunicació
📋 RESUM: Materials i recursos didàctics • Manipulatius: suport a l’abstracció (regletes, geoplà, blocs multibase) • Digitals: GeoGebra, fulls de càlcul, CAS, programació • Criteris: objectius, nivell, inclusió, potencial de discussió • Seqüència: explorar → compartir → formalitzar → transferir • Tecnologia: visualitza i automatitza, però cal comprensió crítica
📋 RESUM: El joc en matemàtiques • Augmenta motivació, practica sense monotonia i normalitza l’error • Tipus: taula, puzles, construcció, digitals • Continguts: càlcul, geometria, probabilitat, lògica/estratègia • Clau: objectiu matemàtic + metareflexió després del joc • Avaluació: observar estratègies, argumentació i comunicació
📋 **RESUM - Sèries Numèriques** 🔢 **Definició:** $\sum a_n$ convergeix si $\lim_{k \to \infty} S_k = S \in \mathbb{R}$ ⚠️ **Condició necessària:** Si conv. $\Rightarrow a_n \to 0$ (no suficient!) 📊 **Sèries clau:** - Geomètrica: conv. si $|r| < 1$, suma $= \frac{a}{1-r}$ - p-harmònica: conv. si $p > 1$ 🧪 **Criteris termes positius:** - Comparació, Quocient ($L < 1$), Arrel ($L < 1$), Integral ➕➖ **Alternades:** Leibniz (decreixent + límit zero) ⭐ **Absoluta vs Condicional:** Abs. conv. $\Rightarrow$ conv.
📋 RESUM: Atenció a la diversitat • Objectiu: equitat i progrés per a tot l’alumnat • DUA: múltiples representacions, expressions i implicació • Barreres: notació, llengua, memòria de treball, ansietat • Mesures: andamiatge, seqüenciació, flexibilitzar temps i formats • Altes capacitats: aprofundiment i projectes oberts
📋 RESUM: Avaluació en matemàtiques • Funcions: diagnòstica, formativa, sumativa • Avaluar processos: raonament, problemes, modelització i comunicació • Instruments: proves, projectes, portafolis, oral, observació • Rúbriques: criteris explícits (notació, justificació, revisió) • Feedback: específic, accionable i a temps • Equitat: diversificar instruments i reduir barreres
📋 **RESUM - Nombres Complexos** 🔢 **Formes:** - Binòmica: $z = a + bi$ - Polar: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ - Exponencial: $z = re^{i\theta}$ ⚙️ **Euler:** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 📐 **De Moivre:** $z^n = r^n e^{in\theta}$ 🔄 **Arrels n-èsimes:** $w_k = \sqrt[n]{r} e^{i\frac{\theta + 2\pi k}{n}}$ 📊 **Geometria:** - Suma = translació - Multiplicar per $e^{i\alpha}$ = rotació - Multiplicar per $k$ = homotècia - Conjugat = reflexió eix real
📋 **RESUM - Sistemes de Numeració** 🔢 **Sistema posicional:** $N = \sum d_i \cdot b^i$ 📊 **Bases:** - Binari (2): bits 0,1 - Octal (8): 0-7, cada xifra = 3 bits - Hexadecimal (16): 0-F, cada xifra = 4 bits 🔄 **Conversions:** - Decimal → base b: divisions successives - Base b → decimal: suma posicional - Binari ↔ Hex: grups de 4 bits ➖ **Complement a 2:** $-N = \overline{N} + 1$ (negatiu en binari) 💻 **Aplicacions:** adreces memòria, colors RGB, permisos Unix
Gai hauek prestaketan daude.
Gaia finkatzeko ikasketa aktiboa behar duzu: flashcards, simulazioak eta plangintza.
Bai. Matematika-ren gai osoa OPOSGRATIS-en 100% doan da.
Matematika oposizioak 143 gai ditu OPOSGRATIS-en, eta horietatik 71 argitaratuta daude.
Bai. LOMLOE curriculumera eta autonomia-arau indardunetara eguneratuta.
OPOSGRATIS sarean ikasketa aktiborako diseinatuta dago.
